Aurélie 11/10/07
 

un modèle de moteur électrique linéaire concours général 2007

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Le dispositif représenté ci-dessous constitue un modèle simple de moteur linéaire ( moteur dans lequel le mouvement habituel de rotation est remplacé par un mouvement de translation).

 

Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.

 Le circuit électrique est constitué de deux rails conducteurs parallèles et horizontaux reliés entre eux par une source de tension de force électromotrice ( fem) E0. Le circuit est fermé par une barre AB conductrice, de masse m, de longueur L, pouvant se déplacer sans frottements le long des rails. La résistance totale du circuit vaut R et le courant qui circule a pour intensité I. L'ensemble est plongé dans un champ magnétique B vertical uniforme et indépendant du temps. La position de la barre est repérée par son abscisse x et sa vitesse vaut v(t).

Le phénomène d'induction électromagnétique.

Le déplacement de la barre AB dans le champ magnétique B stationnaire crée dans le circuit une force électromotrice ( fem) induite e : c'est le phénomène d'induction électromagnétique. D'un point de vue purement électrique, tout se passe comme s'il apparaissait dans le circuit un générateur supplémentaire de force électromotrice e. On en déduit alors le schéma électrique équivalent :

La fem induite est donnée par la loi de Faraday : e = -dF / dt.

F =BS est le flux du champ magnétique B à travers la surface S du circuit.

Expression de la surface S du circuit en fonction de l'abscisse x de la barre et de sa longueur L.

S= x L.

Expression de la fem induite e en fonction de B, L et v = dx/dt la vitesse de la barre.

F =BS = BLx

e = -dF / dt = -BL dx/dt ; e = -B l v.

Expression de l'intensité i du courant électrique.

E0 + e = Ri ; i = (E0 + e) / R

i = (E0 -B l v) / R.


Mouvement de la barre :

Parcourue par un courant d'intensité i, plongée dans le champ magnétique B, la barre AB est en fait soumise à une force d'origine électromagnétique ( force de Laplace) qui provoque son déplacement.

Bilan des forces appliquées à la barre AB :

poids P, vertical, vers le bas, valeur mg

action des rails, vertical, vers le haut, opposée au poids

force de Laplace, horizontale, dirigée suivant ex, valeur F=B i l.


 

Appliquer la deuxième loi de Newton à la barre et projeter suivant ex

Montrons que la vitesse de la barre vérifie un équation différentielle du type dv/dt + v/t = vlim/t.

t a la dimension d'un temps. 

La solution de cette équation différentielle s'écrit :

v(t) = vlim ( 1- exp(-t/t)).

Vérifions la condition initiale sur la vitesse de la barre :

à t=0 : exp(0) = 1 ; 1-exp(0) = 0 ; vlim*0 = 0 ; v(0) = 0.

Vitesse de la barre lorsque t tend vers l'infini :

exp( -oo) = 0 ; 1-exp( -oo) = 1 ; v(oo) = vlim.

Allure du graphe de v(t) :

Signification physique de t :

t est le temps caractéristique du dispositif ; au bout d'une durée égale à 5 t, la vitesse limite est atteinte.




Bilan énergétique :

On se propose d'effectuer un bilan énergétique afin de déterminer le rendement théorique du moteur électrique.

Déterminons le travail utile dWu reçu par la barre AB de la part de la force électromagnétique F au cours du déplacement dx=vdt.

En déduire la puissance mécanique utile dPu

 

Déterminer la puissance totale délivrée par le générateur Pg= E0i et interpréter en terme de bilan énergétique.

Pg= E0i ; E0 = Ri +B l v.

Pg= Ri2 +B l v i.

Le terme Ri2 correspond à la puissance thermique ( effet Joule) dissipée dans le résistor R.

Le terme BLv i correspond à la puissance mécanique reçue par la barre AB.


Le rendement h du moteur est le rapport de la puissance utile Pu sur la puissance totale Pg délivrée par le générateur.

Calcul du rendement h.

h = Pu / Pg = BLv/E0.

Que vaut le rendement en régime stationnaire ?

vlim = E0/(BL) conduit à  h = 1.

Interpréter en calculant la valeur de i et F.

ilim = (E0 -B l vlim) / R ; vlim = E0/(BL)   conduit à ilim =0.

Flim= BLilim =0

En régime stationnaire la barre ne reçoit plus d'énergie du générateur.

La barre est animée d'un mouvement rectiligne uniforme.

 



 

Bilan énergétique en présence de frottement fluide :

On suppose que la barre est à présent soumise à une force de frottement fluide f= -l v.

Montrons que la vitesse v de la barre vérifie l'équation différentielle suivante :

dv/dt + v/t' = vlim/t'.

t'/t = B2L2/ (B2L2 + lR )

t'/t est inférieur à 1 donc t' > t

v'lim =t'/t E0/(BL) = t'/t vlim.

La nouvelle vitesse limite est inférieure à la vitesse limite précédente.

Exprimons le rendement du moteur en régime stationnaire.

h = BLv'lim/E0 = v'lim/ vlim = t'/t.

Le rendement est inférieur à 1.





Exprimons l'intensité du courant en régime stationnaire.

ilim = (E0 -B l v'lim) / R ; v'lim =t'/t E0/(BL)   conduit à ilim =E0 / R ( 1-t'/t).

Flim= BLi'lim =BLE0 / R ( 1-t'/t).

Rôle de la force électromagnétique dans ce cas.

La force électromagnétique compense à chaque instant la force de frottement fluide ; celle-ci s'oppose au mouvement de la barre.

Sous quelle forme est dissipée l'énergie fournie par le générateur ?

Sous forme thermique ( effet Joule) dans le circuit résistif et frottements sur les couches du fluide ( l'air par exemple).


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