Aurélie 22/10/07
 

Modélisation d'un écoulement autour d'une sphère : écoulement laminaire, écoulement turbulent concours général 2007

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On étudie la chute d'une bille d'acier ( diamètre d= 7,8 mm ; masse volumique rbille = 7800 kg/m3) dans un liquide donné ( masse volumique r ; viscosité h ).

L'objectif est de comparer la chute de la bille dans la glycérine et dans l'eau. g = 9,81 m/s2.

Chute de la bille dans la glycérine.

Masse volumique de la glycérine r = 1,26 103 kg m-3 ; viscosité h = 1,49 Pa s.

La bille est lâchée sans vitesse initiale. L'évolution de la vitesse au cours du temps est donnée ci-dessus.

A partir du graphe expérimental, décrire le mouvement de chute et mesurer la vitesse limite vlim :

La vitesse augmente sur l'intervalle [0 ; 0,5 s] puis devient constante à t >0,5 s ( mouvement rectiligne uniforme )

On souhaite modéliser la force de frottement exercée par le fluide sur la bille par : f = -6p r h v

( les grandeurs écrites en gras et en bleu sont des vecteurs)

Déterminer l'équation différentielle du mouvement de la bille.

La bille est soumis à 3 forces:

- la poussée d'Archimède, verticale, orientée vers le haut, valeur = poids du volume de fluide (air) déplacé : F= r V g

avec r : masse volumique du fluide kg m-3 ; V : volume de la bille (m3)

- le poids du système, verticale, orientée vers le bas, valeur : P= m g = rbille V g

- la force de frottement de l''eau sur la bille, verticale, orientée vers le haut, valeur : f = 6p r h v ( négligeable au début du mouvement car la vitesse est alors très faible)  

Ecrire la seconde loi de Newton :

Sur un axe vertical descendant, cette loi s'écrit :

rbille V g - 6p r h v- r V g = rbille V dv/dt.

dv/dt + 6p r h / (rbille V) v = g(1-r /rbille)

Donner l'expression de la vitesse limite vlim .

Quand la vitesse limite est atteinte le mouvement est uniforme : dv/dt=0.

6p r h / (rbille V) vlim = g(1-r /rbille)

vlim = g rbille V (1-r /rbille) / (6p r h).

 

 


Calcul de vlim.

V= 4/3pr3 = 4/3*3,14*(3,9 10-3)3 = 2,48 10-7 m3.

6p r h = 6*3,14*3,9 10-3*1,49 = 0,109

vlim =9,81*7,8 103 *2,48 10-7( 1-1,26/7,8) / 0,109 =0,146 m/s = 146 mm/s.

Du même ordre de grandeur que la valeur expérimentale.

Chute de la bille d'acier dans l'eau.

On reprend l'expérience précédente pour étudier la chute de la bille dans l'eau ( r = 1000 kg/m3 ; viscosité h = 1,0 10-3 Pa s). La bille est toujours lâchée sans vitesse initiale.

A partir du graphe expérimental, décrire le mouvement de chute et mesurer la vitesse limite vlim :

La vitesse augmente sur l'intervalle [0 ; 0,3 s] puis devient constante à t >0,3 s ( mouvement rectiligne uniforme )

Calculer la vitesse limite théorique.

V= 4/3pr3 = 4/3*3,14*(3,9 10-3)3 = 2,48 10-7 m3.

6p r h = 6*3,14*3,9 10-3*10-3 = 7,35 10-5.

vlim =9,81*7,8 103 *2,48 10-7( 1-1/7,8) / 7,35 10-5 = 225 m/s.

En désaccord complet avec le modèle de la force de frottement fluide.

Quelles sont les différences essentielles entre les deux expériences ?

Les masses volumiques des deux liquides sont voisines.

Par contre la viscosité de l'eau est environ 1500 fois plus faible que celle de la glycérine.




Ecoulement laminaire ; écoulement turbulent.

La forme de l'écoulement d'un fluide autour de la bille dépend de la vitesse v et de la taille d de l'obstacle ( ici le diamètre de la bille), mais aussi de la masse volumique r et de la viscosité h du fluide considéré. Pour caractériser le régime d'écoulement on utilise le nombre sans dimension Re, appelé nombre de Reynolds défini par :

Re = r v d /h.

Parmi les différents régimes d'écoulement que l'on peut observer, on distingue en particulier :

L'écoulement laminaire : Re <1

L'écoulement autour de l'obstacle est symétrique et régulier. La force de frottement fluide est donnée par la formule de Stokes : f = -6p r h v

L'écoulement turbulent :103<Re<105.

L'écoulement est caractérisé par des variations spatio-temporelles importantes et aléatoire de la vitesse du fluide. La force de frottement s'exerçant sur la bille s'écrit : f =r CxS v2 u

( u : vecteur unitaire colinéaire à la vitesse et de même sens)

Cx est le coefficient de traînée de l'obstacle dans le fluide : Cx = 0,43 pour un obstacle sphérique.

S : surface frontale vue par le fluide: pour la bille étudiée : S= pr2.

 

 




 Calculer le nombre de Reynolds correspondant aux expériences 1 et 2 lorsque la bille atteint sa vitesse limite.

Re = r v d /h.  

Glycérine : 1,26 103 * 0,125 * 7,8 10-3 / 1,49 = 0,82.

eau : 1,0103 * 1,35 * 7,8 10-3 / 10-3 = 1,1 104.

Caractériser l'écoulement du fluide autour de la bille dans chaque cas.

Dans la glycérine l'écoulemnt est laminaire.

Dans l'eau l'écoulement est turbulent.

Que dire du modèle utilisé pour l'expérience 1 ?

Le modèle utilisé dans l'expérience 1 est valable.

Exprimer la force de frottement qui s'exerce sur la bille plongée dans l'eau lorsqu'elle a atteint sa vitesse limite.

f =r CxS v2 u

Justifier la validité de cette expression.

 L'écoulement étant turbulent, la valeur de la force de frottement est : f =½r CxS v2

Déterminer alors l'expression de la vitesse limite de la bille.

L'équation différentielle relative à la vitesse s'écrit :

rbille V g - ½r CxS v2 - r V g = rbille V dv/dt.

Lorsque la vitesse limite est atteinte, dv/dt = 0, d'où :

½r CxS v2 = V g(rbille - r )

v 2 =2V g(rbille - r ) / (r CxS)

v 2 =2V g(rbille/r-1 ) / ( CxS)

Or V= 4/3pr3 et S= p r2 ; V/S = 4/3r d'où :

v 2 =8/3r g(rbille/r-1 ) / Cx.

v = [8/3r g(rbille/r-1 ) / Cx]½.

Calculer cette vitesse et conclure.

 v= [8/3*3,9 10-3 *9,81(7,8-1 ) / 0,43]½.

v = 1,3 m/s.

Du même ordre de grandeur que la valeur expérimentale.


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