Aurélie 17 Aurélie 17 /10 /07
 

théorème de l'énergie cinétique ; trajectoire d'une balle de golf concours Berck 98/99

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Le mini-golf de Berck fait la joie des petits et des grands. Un des points les plus difficiles à réaliser est représenté ci-dessous :

La balle , assimilée à un objet ponctuel de masse m, quitte le point A avec une vitesse horizontale vA, monte la rampe d'angle a et de hauteur h, passe au dessus de la barrière de hauteur b et tombe dans le trou si "le point" est réussi.

Les résultats numériques seront exprimés avec trois chifres sinificatifs.

Les frottements avec le sol ou l'air sont négligés.

g = 10,0 m/s² ; a =30,0° ; h= 50,0 cm ; xT= 3,00 m.

La barrière est au milieu des points O et T.

Donner une condition sur vA, en fonction de g et h pour que la balle parvienne en O.

Ecrire le théorème de l'énergie cinétique entre A et O.

Sur le plan horizontal, les forces sont perpendiculaires à la vitesse : en conséquence elles e travaillent pas.

Sur la rampe seul le poids effectue un travail ( R, action du plan, est normale au plan).

le travail du poids est résistant en montée et vaut W= -mgh.

variation de l'énergie cinétique entre A et O :

DEc = ½m vO2 - ½m vA2

½m vO2 - ½m vA2 = -mgh

vO2 =vA2-2gh.

Pour atteindre O avec une vitesse nulle, la vitesse minimale en A doit être : vA = (2gh)½.


On suppose que la balle parvient en O.

Déterminer les coordonnées du vecteur vitesse vO, en O, en fonction de a, vA, g et h


 

vox= (vA2-2gh)½cos a ; voy= (vA2-2gh)½sin a.  


Déterminer l'équation cartésienne de la trajectoire en fonction de ces mêmes paramètres.

Au delà de O la balle est en chute libre ( elle n'est soumise qu'à son poids).

Composantes de l'accélération : ( 0 ; -g)

La vitesse est une primitive de l'accélération :

vx = vox= (vA2-2gh)½cos a ; vy = -gt + voy=-gt +(vA2-2gh)½sin a.

La position est une primitive de la vitesse :

x = vx t = (vA2-2gh)½cos a t (1)

y = vy t = -½gt2+(vA2-2gh)½sin a t (2)

(1) donne t = x / ( (vA2-2gh)½cos a)

repport dans (2) :

Calculer la valeur umérique de vA pour que la balle parvienne en T, centre du trou.

abscisse de T : xT=3 m ; ordonnée yT=0 

0 = -0,5 g *3 / ((vA2-2gh)cos2a) + sin a / cos a.

1,5 g / ((vA2-2gh)cosa) = sin a ; 1,5 g = (vA2-2gh)cosasin a

(vA2-2gh) = 1,5 g / (cosasin a) ; vA2=1,5 g / (cosasin a) +2gh

vA2=15/(cos30 sin30) +2*10*0,5 =44,641

vA= 6,68 m/s.


Calculer la valeur numérique ( en cm) de la hauteur maximale bmax de la barrière pour que le "point" soit possible.

 xB= 1,5 m ;

yB=  -0,5*10*1,52 / ((6,682-2*10*0,5) cos230) + 1,5 tan 30

yB= 0,433 m = 43,3 cm.




Le point T est le centre d'un trou de 20 cm de diamètre.

Donner l'encadrement nmérique de vA ( en km/h) qui permet de réussir ce point.

ordonnée yT=0 

0 = -0,5 g *xT / ((vA2-2gh)cos2a) + sin a / cos a.

0,5 g *xT / ((vA2-2gh)cosa) = sin a ; 0,5 g *xT = (vA2-2gh)cosasin a

(vA2-2gh) = 0,5 g *xT / (cosasin a) ; vA2=0,5 g *xT / (cosasin a) +2gh

 abscisse de T : xT=2,9 m

vA2=5*2,9/(cos30 sin30) +2*10*0,5

vA= 6,59 m/s = 6,59*3,6 km/h = 23,7 km/h.

 abscisse de T : xT=3,1 m

vA2=5*3,1/(cos30 sin30) +2*10*0,5

vA= 6,77 m/s = 6,77*3,6 km/h = 24,4 km/h.



 


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