Aurélie 22/11/07
 

Machine frigorifique concours ITPE 2007

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Dans une machine frigorifique dont le fluide caloporteur est assimilable à un gaz parfait, une mole de fluide parcourant le cycle reçoit une quantité de chaleur Q2 d'une source froide de température T2 et une quantité de chaleur Q1 d'une source chaude de température T1. Dans le même temps, le fluide reçoit, via le compresseur, le travail W. On donne T1 = 293 K et T2 = 268 K.

On suppose dans un premier temps que le cycle comprend les transformations réversibles suivantes : compression adiabatique de T2 à T1 , compression isotherme à T1 , détente adiabatique de T1 à T2, détente isotherme à T2.

Tracer l'allure du cycle dans un diagramme (P V).

 Justifier rapidement que l'on a Q1<0 et Q2>0.

Au cours d'un cycle le fluide reçoit le travail W , prend la chaleur Q2 à la source froide (aliments à refroidir) et céde la chaleur Q1 à l'extérieur, source chaude.

Q2 reçue par le fluide est comptée positivement.

Q1 cédée par le fluide est comptée négativement.

 


Définir et calculer l'efficacité h du cycle.

coefficient d’efficacité , notée h, ( réversibilité) : chaleur enlevée à la source froide divisée par le travail reçu.

h = Q2/W.

premier principe : W+Q1+Q2 = 0 sur le cycle d'où W= -(Q1+Q2)

h = -Q2/(Q1+Q2).

second principe : Q1/T1+Q2/T2 <= 0 sur le cycle.

Q1/T1 <= -Q2/T2 ; Q1/Q2<= -T1/T2 ; (Q1+Q2) /Q2<= (T2-T1) /T2 ;

d'où : -Q2/ (Q1+Q2) <= T2/(T1-T2)

( égalité pour une transformation réversible ; inférieur dans le cas d'une transformation irréversible )

 h = T2/(T1-T2).

h =268/(293-268) =10,7.

 



En réalité le cycle comprend les transformations suivantes :

- compression adiabatique réversible de T2 à T'2 = 330 K

- refroidissement isobare de T'2 à T1 .

- détente adiabatique réversible de T1 à T'1

- échauffement isobare de T'1 à T2 .

Exprimer l'efficacité h' du cycle en fonction de T1, T'1, T2, T'2.

Compression adiabatique réversible de T2 à T'2 :

Q1=0 ; dW = -PdV avec PVg=Cte ; dW =-Cte V-g dV

W= -Cte / (1-g) (V1-gfinal-V1-ginitial)

Or Cte = PinitialVginitial= PfinalVgfinal

d'où : W= 1/ (g-1) [ PfinalVfinal - PinitialVinitia] = R/ (g-1) [Tfinal-Tinitial]

W1 = R/ (g-1)[T '2-T2].

Détente adiabatique réversible de T1 à T'1 :

Q3=0 ; W3 = R/ (g-1)[T '1-T1].

Refroidissement isobare de T'2 à T1 :

dW = -PdV avec P constant. W = -P(Vfinal-Vinitial) = R(Tinitial-Tfinal)

W2 = R[T '2-T1].

Q = Cp(Tfinal-Tinitial) = gR/(g-1)(Tfinal-Tinitial)

Q2 = gR/(g-1)(T1-T '2).

Echauffement isobare de T'1 à T2 :

W4 = R[T '1-T2]. Q4 = gR/(g-1)(T2-T '1).


Travail total : W = R[ 1/(g-1) (T '2-T2) + (T '2-T1) + (T '1-T2) ]

W =R [ 1/(g-1) (T '2-T2+T '1-T1) + (T '2-T1 +T '1-T2 ]

W = Rg/(g-1)(T '2-T2+T '1-T1)

h' = Q4/W.

h' = (T2-T '1) / (T '2-T2+T '1-T1).

Exprimer l'efficacité h' du cycle en fonction de T2, T'2.

Compression adiabatique réversible de A à B :

 PA VAg =  PB VBg (1)

Refroidissement isobare de B à C :

PB VB = RT '2 et PB VC = RT1(2)

Détente adiabatique réversible de C à D :

 PB VCg =  PA VDg (3)

Echauffement isobare de D à A :

PA VD = RT'1 et PAVA = RT2(4)

(1) et (3) donnent : VAg /VDg = VBg / VCg soit VA /VD = VB / VC (5)

(2) donne : T '2 / VB = T1/ VC ; VB / VC = T '2 / T1 (6)

(4) donne : T '1 / VD = T2/ VA ; VA / VD = T2 / T '1 (7)

(5), (6) et (7) donnent : T '1 = T1 T2/ T '2 .

Repport dans h'.

h'= (T2-T '1) / (T '2-T2+T '1-T1).

h'= (T2T '2-T1 T2) / (T '2T '2-T2T '2+T1 T2-T1T '2).

h'=T2(T '2-T1 ) / [(T '2-T1 ) (-T2 +T '2).

h'=T2 /( T '2-T2)

h'=268/(330-268 = 4,3.



 

 Calculer la variation d'entropie de l'ensemble fluide-sources au cours du cycle pour une mole de fluide.

 L'entropie est une fonction d'état : sa variation ne dépend que de l'état initial et final.

imaginer une transformation réversible passant de l'état initial à l'état final

transformation élémentaire : dS =dQ/T= (dU-dW)/T = Cv, m /T dT+ PdV/T = R/(g-1) /T dT+ RdV/P

intégrer entre Ti et Tf : DS =R/(g-1) ln(Tf /Ti) + Rln(Vf /Vi).

Refroidissement isobare de T'2 à T1 (B à C)

DSBC =R/(g-1) ln(T1 /T '2) + Rln(VC /VB).

Or VB / VC = T '2 / T1 (6)

DS BC =R/(g-1) ln(T1 /T '2) + Rln(T1 /T '2) = Rg/(g-1) ln(T1 /T '2)


Echauffement isobare de T'1 à T2 (D à A) :

DSDA =R/(g-1) ln(T2 /T '1) + Rln(VA /VD).

Or VA / VD = T2 / T '1 (7)

DS DA =R/(g-1) ln(T2 /T '1) + Rln(T2 /T '1) = Rg/(g-1) ln(T2 /T '1)


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