Aurélie 22/11/07
 

Dipôle RLC, montage en parallèle concours ITPE 2007

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On considère le montage ci-dessous.

Au début de l'expérience, on laisse le circuit assez longtemps avec l'interrupteur ouvert. A t=0, on ferme l'interrupteur.

Que peut-on dire de l'état du circuit ( bobine et condensateur ) juste avant la fermeture de l'interrupteur. Justifier.

Le condensateur est déchargé ( tension nulle à ces bornes).

La bobine ne stocke aucune énergie : l'intensité du courant est nulle. 

Lors des échanges d'énergie entre condensateur et bobine, l'énergie stockée par le condensateur et la bobine est dissipée par effet joule dans les résistors R1 et R2.

Déterminer l'intensité i(t) du courant qui traverse le générateur.

On note avec l'indice 1 l'intensité qui traverse la branche contenant la bobine, avec l'indice 2 celle qui traverse la branche contenant le condensateur, i celle traversant le générateur.

Additivité des intensités : i = i1 + i2.

additivité des tensions : E= Ldi1/dt + R1i1

di1/dt + R1/L i1 =E/L ; on pose t1 = L/R1.

di1/dt +1/t1 i1 =E/L. (1)

solution de cette équation différentielle sans second membre : i1 = A exp(-t/t1 )

solution particulière de (1), régime permanent : I1 = E/R1.

solution générale de (1) : i1 = A exp(-t/t1 ) + E/R1.

Condition initiale i1 = 0 d'où : 0 =A +E/R1 ; A = -E/R1.

i1 = E/R1 ( 1-exp(-t/t1 ).


 

i2 = dq/dt.

additivité des tensions : E= q/C + R2i2

E= q/C + R2dq/dt. 

q/(R2C) + dq/dt = E/ R2 ; on pose t2 = R2C

q/ t2 + dq/dt = E/ R2 (2)

solution de cette équation différentielle sans second membre : q = B exp(-t/t2 )

solution particulière de (2), régime permanent, condensateur chargé : Q = CE.

solution générale de (21) : q = B exp(-t/t2) + CE.

Condition initialeq = 0 d'où : 0 =B +CE ; B = -CE.

q = CE ( 1-exp(-t/t2 ).

Or i2 = dq/dt d'où i2 = CE/t2 exp(-t/t2)

i2 = E/ R2 exp(-t/t2).

i = i1+i2 = E/R1 ( 1-exp(-t/t1 ) +E/ R2 exp(-t/t2).

 

 



A quelle condition cette intensité est-elle indépendante du temps ?

En régime permanent l'intensité est indépendante du temps et vaut I= E/R1.

En régime transitoire :

E/R1 exp(-t/t1 ) =E/ R2 exp(-t/t2)

R2/R1 = exp(-t/t2) exp(t/t1 )

ln( R2/R1 )= -t/t2+t/t1 = t (1/t1 -1/t2)

soit à la date t = ln( R2/R1 ) / (1/t1 -1/t2)

A quelle condition la tension u(t) = VA(t) - VB(t) est-elle nulle en permanence ?

u(t) = uAB =  uAP+ uPB.

 

u(t) = -q/C +R1i1 =0

q/C = R1i1

R1  i1 = E ( 1-exp(-t/t1 ) ; q /C=E ( 1-exp(-t/t2 ).

1-exp(-t/t1 ) = 1-exp(-t/t2 ) ; exp(-t/t2 ) ; t/t1 =t/t2.

t1 =t2 ; L/R1 = R2C.



 

 


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