Aurélie 04/10/07
 

Mécanique : anneau sur un morceau de cycloïde concours ITPE ( travaux publics) interne 2004

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Soit un plan vertical dans lequel on considère un référentiel cartésien (Oxy).

Dans ce plan, un fil de fer, de section négligeable, a la forme d'un morceau de cycloïde défini par ses équations paramétriques

x= a(F+sin F ) ; y = a(1-cosF). a constante positive ; F est compris entre -p et +p.

Donner en fonction de F les différentielles dx et dy.

dx= a(1+cos F) d F ; dy = a sin F dF.

En déduire celle de la pente y'(F) du graphe et vérifier que les tangentes qui y sont représentées ont bien l'allure convenable y'(+ ou - p) et y'(0).

y' = dy/dx = sin F / (1+cos F) .

or sin F = 2 sin (½F) cos (½F) et 1+ cos F = 2 cos2F)

d'où y' = tan(½F)

y'(0) = 0 = tangente horizontale

y'(-p) tend vers - l'infini : tangente verticale ;

y'(+p) tend vers + l'infini : tangente verticale.


On abandonne en A, sans vitesse initiale, un anneau de taille négligeable et de masse m qui glisse sans frottement sur le fil de fer.

Donner l'expression de la différentielle de l'abscisse curviligne s=OP de cet anneau, quand celui-ci se trouve au point P(x,y).

 On rappelle que (ds)2 = (dx)2 + (dy)2.

(dx)2= a2(1+cos F)2 (d F)2 = a2[1+2cos F+ cos2F] (d F)2

(dy)2 = a2 sin2 F (d F)2

(ds)2 = a2 [1+2cos F+ cos2F+ sin2 F ] (d F)2

(ds)2 = a2 [1+2cos F+ 1 ] (d F)2

(ds)2 = 2a2 [1+cos F ] (d F)2 = 4a2 cos2F)(d F)2

ds = 2a cos(½F) d F .



En déduire l'expression de l'abscisse curviligne s, dont l'origine est prise en O(0,0) en fonction de F.


Toujours pour cet anneau en P, trouver en fonction de F l'expression de :

L'énergie potentielle Ep , l'origine étant prise en O(0 ; 0).

Ep= mg y = mg a (1-cosF)

Or 1-cosF = 2 sin2F) d'où Ep= 2mga sin2F).

Ep(0) = 0 ; Ep(p) =Ep(-p) = 2mga.

L'énergie cinétique Ec.

Ec= ½mv2 = ½m ( ds/dt)2 avec ds/dt = ds/dF *dF/dt = ds/dF F'.

Ec= ½m [2a cos(½F)]2F'2 = 2a2 m cos2F)]2F'2

L'énergie cinétique est nulle en A ( pas de vitesse initiale) ; en conséquence elle est nulle en B.

L'énergie mécanique est constante ( absence de frottement) et vaut 2mga

en O, l'énergie mécanique est sous forme cinétique et vaut : Ec(0) = 2mga.


 Expression de l'énergie mécanique.

EM= Ep+Ec = 2mga sin2F) + 2a2 m cos2F)]2F'2

 




On pose q= sin(½F).

Exprimer l'énergie mécanique en fonction de q et q'=dq/dt.

q' = ½ cos(½F) F'.

EM=2mga q2 + 8a2 m q'2 = 2 ma ( g q2 + 4aq'2 ).

 Montrer qu'une différentiation supplémentaire, par rapport au temps, de EM conduit à une équation différentielle du type :

q" + w2q = 0 . Préciser la valeur de w.

EM/ (2am) = g q2 + 4aq'2 = constante

différentier par rapport au temps :

0 = 2gq q' +8aq' q"

gq + 4a q"=0 soit q" + g/(4a) q=0 avec w=[g/(4a)]½.

En déduire la loi horaire q(t).

A t=0, l'anneau passe pour la première fois en O(0;0).

La solution de l'équation différentielle ci-dessus est du type q= A sin (wt+j)

Or à t=0, y=0 soit F= 0 ; q=0.

A sin j = 0 conduit à j = 0 et q= A sin (wt)

Comment trouver A ?

q'(0) = Aw

En O l'énergie mécanique st sous forme cinétique et vaut : 2mga =8a2 m q'2 soit q'= [g/(4a)]½.

par suite : [g/(4a)]½ = Aw ; A= [g/(4a)]½ / w ; A= [g/(4a)]½ [g/(4a)]=1

q=sin (wt)

Donner l'expression de s(t) :

s(t) = 4a sin (½F) = 4a sin (wt).





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