Aurélie 20/09/07
 

ensemble de deux ressorts en rotation concours ITPE ( travaux publics) interne 2004

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Un point matériel M de masse m est attaché aux extrémités de deux ressorts de même caractéristiques ( raideur k, longueur à vide l0), enfilés sur une tringle OA de longueur L et fixés respectivement en O et en A.

On repère la position de M par x, distance OM. La tringle OA est fixe.

Position M0 du point M à l'équilibre : OM0 = x0.

 Le système étudié est le solide ponctuel M ; il est soumis à son poids, aux tensions des ressorts et à l'action de la tige OA.

Les ressorts sont supposés être étirés.


A l'équilibre la somme vectorielle des forces est nulle.

Projetons chaque force sur OA, orienté de O vers A :

poids : mg cos a ; action de la tige : 0 ; tension T' : k(L-x0-l0) ; tension T : -k(x0-l0)

d'où : mg cos a + k(L-x0-l0) -k(x0-l0) =0

mg cos a +kL-2kx0 = 0

x0 = ½ [L+ mg cos a / k].




Equation différentielle du mouvement :

Le point M étant à l'équilibre, on l'écarte d'une amplitude xmax(>x0) et on le lâche sans vitesse initiale

Ecrire la seconde loi de Newton sur l'axe OA, orienté de O vers A, origine M0 :

On note la position M0M= x à une date t quelconque.

poids : mg cos a ; action de la tige : 0 ; tension T' : k(L-x0-x-l0) ; tension T : -k(x0+x-l0) avec x>0.

d'où : mg cos a + k(L-x0-x-l0) -k(x0+x-l0) =mx"

mg cos a +kL-2kx0 -2kx = mx"

Or mg cos a +kL-2kx0 =0 d'où mx"+ 2kx=0

x" +2k/m x =0. 

Expression de x(t) :

Il s'agit d'un oscillateur non amorti de pulsation w0 =[2k/m]½.

x(t) = xmax cos( w0t)


 


La tringle OA tourne à présent autour de l'axe vertical avec une vitesse de rotation constante w.

Nouvelle position d'équilibre x1 :

Projection de la somme vectorielle des forces sur un axe perpendiculaire à OA :

R= mg sina.

Le mouvement est circulaire uniforme de rayon MH = x1 sina ; l'accélération est centripète dirigée de M vers H.

La valeur de l'accélération est : w2 MH = w2x1 sina.

La seconde loi de Newton s'écrit suivant MH :

-R cosa + Tsina - T'sina = m w2x1 sina.

-mgcosa + T - T'= m w2x1.

-mgcosa + k(x1-l0) - k(L-x1-l0)= m w2x1.

-mgcosa + 2kx1-kL=m w2x1.

x1 [ 2k-m w2]= mgcosa+kL

x1 = ( mgcosa+kL) / [ 2k-m w2].


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