AurÚlie 7/05/07
 

concours kiné APHP chute avec frottements ; dipole RL; analogies mécanique-électrique. 2007


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Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu


L'objectif de ce problème est de réaliser la simulation à l'aide d'un circuit électrique, de l'équation horaire suivie par une bille lors de sa chute en présence de frottements.

Etude de la chute d'une balle soumise à des forces de frottements :

On considère une balle de masse m ; cette balle est abandonnée dans l'air à l'instant t=0, sans vitesse initiale d'un point situé à une hauteur h au dessus du sol. On assimile les frottements à une seule force f = -kv.

Bilan des forces subies par la balle en faisant un schéma. ( on négligera la poussée d'Archimède).

Equation différentielle vérifiée par la vitesse de la balle :

Ecrire la deuxième loi de Newton sur un axe vertical orienté vers le bas :

mg-kv=mdv/dt.

dv/dt +k/m v = g. (1)

de la forme dv/dt + a1 v = C avec a1 =k/m et C = g.

Expression de t1et de vl :

On admet que la solution peut s'écrire sous la forme v(t) = vl(1 - exp(-t/t1).

dv/dt = vl /t1 exp(-t/t1) : repport dans (1)

vl /t1 exp(-t/t1) +k/m vl(1 - exp(-t/t1) = g

[vl /t1 -k/m vl ] exp(-t/t1) + k/m vl= g

égalité vérifiée quelque soit le temps si : t1 = m/k et si vl= mg/k.

t1 : constante de temps ( s) ; vl : vitesse limite de chute (m/s).

 


Etude du circuit électrique permettant la modélisation :

On considère le circuit suivant, constitué d'une bobine d'inductance L et de résistance r en série avec une résistance réglable R0 et un interrupteur K, alimenté par un générateur idéal de fem E. A l'instant t=0 on ferme l'interrupteur K.

 

 

Branchements d'un oscilloscope permettant de visualiser la tension totale UT aux bornes du dipôle (L, r, R0) sur la voie Y1 et l'intensité i(t) du courant dans le circuit sur la voie Y2 :

La tension aux bornes d'un résistor et l'intensité qui le traverse sont proportionnelles : visualiser R0i c'est visualiser l'intensité i(t) au facteur R0 près.
Equation différentielle régissant l'évolution de l'intensité i(t) du courant. On posera R=R0+r.

Additivité des tensions : UT = E =UL + R0i avec UL = Ldi/dt + r i

E= Ldi/dt + (R0+r) i = Ldi/dt + Ri

di/dt + R/L i = E/L. (2)
Expression de I0 intensité en régime permanent :

En régime permanent l'intensité est constante et dI0/dt=0 d'où I0 = E/R.

La solution de cette équation différentielle est du type i(t) = A+B exp(-a2t).

Expressions de A, B, a2 en fonction de E, R et L :

di/dt = -Ba2 exp(-a2t) ; repport dans (2) :

-Ba2 exp(-a2t) +R/L(A+B exp(-a2t) = E/L

B( -a2 +R/L) exp(-a2t)+AR/L= E/L.

Egalité vérifiée quelque soit le temps si a2 =R/L et si A=E/R.

De plus à l'instant t=0, l'intensité est nulle d'où B=-A.

i(t) = E/R(1-exp(-R/Lt)).

Dimension de a2 :

énergie dégagée par effet Joule E=RI2t ; R= E/(I2t) : énergie /( intensité 2*temps)

énergie stoickée par la bobine : E= ½LI2 ; L= 2E/I2 : énergie / intensité au carré.

donc R/L a la dimension de l'inverse d'un temps.


Expression de la tension uL(t) aux bornes de la bobine :

UL = Ldi/dt + r i ; en régime permanent UL = rI0.

Sur l'écran de l'oscilloscope, si le circuit avait été purement résistif on aurait observé une droite horizontale : U = RI0.

La bobine s'oppose à 'établissement du courant.
Expression de l'énergie emmagasinée dans la bobine : ½LI02. ( en régime permanent).

 

Les données de l'oscilloscope sont envoyées sur un logiciel de traitement des données. Après traitement on obtient à l'ordinateur la courbe suivante :


Tangente à l'origine de la courbe i(t) :

Droite passant par l'origine, d'équation y = [di/dt]t=0 t.

Or i(t) = E/R(1-exp(-R/Lt)) ; di/dt = E/Lexp(-R/Lt) ; [di/dt]t=0 = E/L

y = Et/L ; si y =I0 alors t= t2 = LI0/E ; or I0 = E/R d'où t2 = L/R, constante de temps du circuit.


Principe de la simulation :

On veut simuler la chute sans vitesse d'une balle de masse m = 100 g dans le champ de pesanteur g= 10 m/s2. Au bout d'une durée Dt la vitesse limite est atteinte et prend la valeur 0,25 m/s.

grandeur mécanique
grandeur électrique
équation différentielle
dv/dt +k/m v = g
di/dt + R/L i = E/L

vitesse (m/s)
intensité (A)

g = 10 m/s2
E/L

masse (kg) m = 0,1 kg
inductance L (H)

coeficient de frottement k ( kg / s)
résistance R( W)
constante de temps(s)
m/k
L/R

vitesse limite (m/s) vl= 0,25=mg/k

k = mg/0,25 = 0,1*10/0,25 = 4 kg s-1.

intensité en régime permanent

I0 = E/R

Valeur qu'il faut donner à la résistance R pour simuler le mouvement de la balle étudiée : 4 W.
Valeur de L à utiliser pour la simulation :
0,1 H.
Valeur de
t pour le circuit électrique : L/R = 0,1 / 4 = 0,025 s = 25 ms.
Valeur de la fem E du générateur pour avoir la valeur de I0 en mA donnée par le même nombre que la valeur de vl en mm/s :

E/L = 10 soit E = 10*0,1 = 1 V.
Durée du régime transitoire
Dt : 5 t = 0,125 s.


On s'interesse à l'association des formes d'énergie électrique de la simulation et des formes d'énergie mécanique. On donnera les noms et les expressions mathématiques.

grandeur mécanique
grandeur électrique
équation différentielle
dv/dt +k/m v = g
di/dt + R/L i = E/L

vitesse (m/s)

vitesse limite vl

intensité (A)

intensité en régime permanent I0

masse (kg) m = 0,1 kg
inductance L (H)

coeficient de frottement k ( kg / s)
résistance R( W)

énergie cinétique : ½mv2
énergie stokée par la bobine : ½L i2

|Puissance de la force de frottement |: ½kvl2

en régime transitoire, à la date t : ½kv2

Puissance dissipée par effet Joule : RI02

en régime transitoire, à la date t ½Ri2

Puissance du poids : mg v
puissance du générateur idéal : E i

Dans le circuit électrique simulant la chute de la balle, les pertes d'énergie par effet Joule durant la phase transitoire
Dt sont estimées à 87,5 % de l'énergie consommée.

Distance parcourue, notée d, par la balle au cours du régime transitoire :  

L'énergie stockée par la bobine correspond à 12,5 % de l'énergie consommée.

Energie stockée par la bobine durant le régime transitoire :

Pendant da durée dt : dW= Li di = L d(½i2)

Intégrer entre 0 et I0 : W=½LI02 = 0,5 *0,1*0,252 =3,12 10-3 J

Par suite, l'énergie consommée vaut : 3,12 10-3 / 0,125 = 0,025 J.

Travail moteur du poids : mgd = 0,025 J

d = 0,025/(0,1*10) = 0,025 m.


 

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