Aurélie 17/04/07
 

Concours Capes : étude d'un tube à décharge, générateur de Thévenin 2007

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Un tube à décharge pour l'éclairage ( appelé improprement tube néon) est un dipôle électrique parcouru par un courant d'intensité i, et aux bornes duquel la tension est u, en convention récepteur. Il a deux états :
- s'il est éteint il se comporte comme un interrupteur ouvert ( l'intensité i qui le parcourt est nulle)

- s'il est allumé il se comporte comme un résistor de résistance Ra.

De plus le passage du tube vers un nouvel état dépend de l'état antérieur ( "hystérésis") :

- s'il est éteint, il faut que la tension q'il subit u devienne supérieure à la tension d'allumage Va pour qu'il s'allume.

- s'il est allumé et que la tension qu'il subit u devient inférieure à la tension d'extinction Ve ( avec Ve <Va) il s'éteint.

E= 150 V ; Va = 128 V ; R= 100 kW ; C= 33,0 mF.

  1. Tracer l'allure de la caractéristique i=f(u) du tube. On fera apparaître les effets d'hystérésis sur le graphique.
  2. S'agit-il d'u dipôle : commandé ou libre ; linéaire ou non linéaire ; actif ou passif ?
    Dans la suite du problème, on alimente le tube par un générateur de Thévenin ( de tension continue E>Va et de résistance R) et on le branche en parallèle avec un condensateur de capacité C.
  3. Tube éteint :
    - Trouver l'équation différentielle satisfaite par u, la tension aux bornes du tube.
    - Exprimer la forme de la solution u(t) en prenant u(0)=0.
  4. Tube allumé :
    - Montrer que le circuit est équivalent à un générateur de Thévenin ( de tension E' et de résistance R') qui alimente un condensateur de capacité C. On exprimera E' et R' en fonction de R, Ra et E.
    - Trouver l'équation différentielle satisfaite par u, la tension aux bornes du tube.
    - Exprimer la forme de la solution u(t) en prenant u(t0)=Va, en fonction de t, E', Va, t0, R' et C.
  5. Interprétation : On suppose que RaE/(R+Ra) >Ve.
    - Décrire l'évolution de u(t) pour t >t0.
    - Tracer en justifiant, l'allure de la tension u(t) pour t>0.
    - Exprimer le temps
    Dt qu'il faut attendre avant l'allumage de l'éclairage, en fonction de E, Va, R et C. Calculer D t et conclure.
 




Allure de la caractéristique i=f(u) du tube :

Le tube allumé se comporte comme un résistor de résistance Ra : i=f(u) est alors une fonction linéaire ; la courbe est un segment de droite de coefficient directeur 1/Ra.

Le dipôle est libre ( absence de commande extérieure), linéaire seulement sur un petit intervalle, passif ( il ne peut que consommer de la puisance électrique).

Tube éteint : le tube se comporte comme un interrupteur ouvert.
Equation différentielle satisfaite par u, la tension aux bornes du tube :

La tension aux bornes du générateur est égale à la tension aux bornes du condensateur.

u = E-R i avec i = dq/dt et q= Cu soit i = Cdu/dt

u=E-RCdu/dt ; du/dt + 1/(RC) u = E/(RC).

Solution u(t) en prenant u(0)=0 :

u(t) = E (1-exp(-t / (RC))).

Tube allumé :
Montrons que le circuit est équivalent à un générateur de Thévenin ( de tension E' et de résistance R') qui alimente un condensateur de capacité C :

Pour calculer la résistance R' du générateur de Thévenin, on supprime E.

Entre A et B deux résistors sont en dérivation ; leur résistance équivalente vaut : R' = RRa/(R+Ra).

Pour obtenir la fem E' du générateur de Thévenin, on cherche l'intensité de court circuit icc :

E-Ricc=0 soit icc = E/R.

E'= R' icc ; E' = ERa/(R+Ra)
Equation différentielle satisfaite par u, la tension aux bornes du tube :


u = E'-R' i avec i = dq/dt et q= Cu soit i = Cdu/dt

u=E'-R'Cdu/dt ; du/dt + 1/(R'C) u = E'/(RC).

Solution u(t) en prenant u(t0)=Va :

u(t) = A exp(-t / (R'C))) + E'

Va= A exp(-t0 / (R'C))) + E' ; A = (Va-E') exp(t0 / (R'C))

u(t) =(Va-E')exp[(t0-t) / (R'C)] + E'

 

Interprétation : On suppose que RaE/(R+Ra) >Ve.
Evolution de u(t) pour t >t0 :


- Expression du temps
Dt qu'il faut attendre avant l'allumage de l'éclairage, en fonction de E, Va, R et C :

u(t) = E (1-exp(-t / (RC))) ( phase 1 : tube étteint)

Va = E (1-exp(-Dt / (RC))) ; Va / E =1-exp(-Dt / (RC)) ; exp(-Dt / (RC)) = (1-Va / E ) = (E-Va / E )

-Dt / (RC) = ln[ (E-Va / E )] ; Dt = RCln[E/(E-Va)].

Dt = 105*33 10-6 ln[150/(150-128)] = 6,3 s ( ce temps d'allumage est trop long)


 

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