Aurélie 04/09/07
 

Oscillations électriques libres Capes 2000

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Lorsque le commutateur K est en position 1, le condensateur se charge sous la tension E délivrée par un générateur de tension constante.

Le condensateur une fois chargé, on bascule à l'instant t=0 le commutateur en position 2.

Equation différentielle vérifiée par la tension v(t) aux bornes du condensateur :

additivité des tensions : v(t) = R i(t) + Ldi(t) /dt

De plus i(t) = - dq(t) / dt avec q(t) = C v(t)

d'où i(t) = -C dv(t)/dt ; di(t)/dt = -C d2v(t)/dt2.

Par suite v(t) = -R C dv(t)/dt - LC d2v(t)/dt2.

  d2v(t)/dt2+ R/Ldv(t)/dt +1/(LC) v(t) = 0.

En posant or w0 = (LC) et Q0 = 1/R [L/C]½ soit w0 /Q0 =R/L.

v"(t) +w0 /Q0 v'(t) +w02 v(t) =0. (1)

Conditions initiales de décharge du condensateur :

L'énergie stockée par le condensateur et en conséquence la tension aux bornes du condensateur sont continues.

v(0-) = v(0+) = E.

L'énergie stockée par la bobine et en conséquence l'intensité du courant sont continues.

i(0-) = i(0+) = 0.

Afin d'avoir une forme réduite de l'équation différentielle, on introduit la grandeur t = t/(LC)½ et le degré d'amortissement a = ½R (C/L)½.

dt/dt = 1/(LC)½ = w0 ; dv(t) / dt = dv(t)/dt * dt/dt = w0 dv(t)/dt ; d2v(t)/dt2 = w02 d2v(t)/dt2

a = ½R (C/L)½ = 1/(2Q0 ) ; 1/Q0 =2 a.

L'équation différentielle (1) s'écrit alors :

w02 d2v(t)/dt2 + 2a w02 dv(t)/dt + w02 v(t) =0

Diviser chaque termes par w02 , grandeur non nulle :

d2v(t)/dt2 + 2a dv(t)/dt + v(t) =0 (2)




Suivant les valeurs du degré d'amortissement a il existe deux régimes principaux d'évolution de la tension v(t) :

L'équation caractéristique associée à (2) s'écrit :

r2 + 2a r = 1 =0 ; discriminant réduit D' =a2-1

Si a>1 , régime apériodique

Si a<1 , régime pseudopériodique.

 


 


Pour la valeur particulière a=1 on passe du régime pseudopériodique au régime apériodique. La résistance du circuit porte le nom de résistance critique.

Pour L= 0,04 H et C= 22 nF calculons cette valeur Rcritique.

Or a = ½R (C/L)½ d'où 1 =½Rcritique (C/L)½ ; Rcritique = 2(LC)½ ;

Rcritique = 2 (0,04 / 22 10-9)½ =2,7 103 W.


 
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