Aurélie 13/11/07
 

Montée de la sève dans les arbres ; pression osmotique concours agrégation 2007

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Le saccharose de formule brute C12H22O11 est présent au printemps dans la sève d'érable, solution aqueuse de sucres contenant environ 65 % de saccharose et de plus faibles quantités de fructose et de glucose. Le sirop d'érable est un concentré de sève recueilli en faisant des trous dans l'écorce de l'arbre au printemps.

On s'intéresse ici à la montée de la sève dans les arbres.

Pression osmotique.

On considère un récipient formé de deux compartiments, gauche et droite, de même volume V et de même température T, séparés par une membrane semi-perméable, c'est à dire perméable au solvant A mais imperméable à un soluté B.

Le compartiment de gauche contient une solution supposée idéale du soluté B dans A, celui de droite le solvant pur sous la pression P.

Rappeler la définition du potentiel chimique mA*(P,T) du corps pur A à la pression P et à la température T.

On note G(P,T, nA) la fonction d'état enthalpie libre associée à A, corps pur.

A partir de l'expression de la variation d'enthalpie libre dG, exprimer la variation dmA* du potentiel chimique du corps pur A en fonction du volume molaire Vm* de A et de la variation de pression dP qui en est la cause à température T fixée.

dG= V dP-SdT+mA*dnA

A température constante le terme SdT est nul : dG= V dP+mA*dnA. On note n= nA.

On supposera par la suite que Vm* ne dépend pas de la pression.

Donner l'expression du potentiel chimique du solvant A dans chaque compartiment.

Compartiment de droite : le solvant est pur : mA droite = m A*(P,T).

Compartiment de gauche : on note xA la fraction molaire de A et P' la pression dans ce compartiment :

mA gauche = m A*(P',T) + RT ln xA.

Le système est à l'équilibre.

 Ecrire la condition d'équilibre que doit vérifier le solvant.

mA droite =mA gauche

m A*(P,T) = m A*(P',T) + RT ln xA.

m A*(P',T) -m A*(P,T) = -RT ln xA.

m A*(P',T) -m A*(P,T) = dm A* = Vm*dP = Vm*(P'-P)

On note p= P'-P

p= -RT / V*m ln xA.

Or xA<1 donc ln xA<0 et -RT ln xA>0 donc pest positif.

Il existe une surpression p ( pression osmotique) dans le compartiment de gauche.


La pression osmotique est la pression minimum que l'on doit exercer pour empêcher le passage du solvant d’une solution moins concentrée à une solution plus concentrée, à travers une membrane semiperméable.

On suppose que la solution est peu concentrée et que la membrane est indéformable.

Montrer que la pression osmotique est de la forme p=nBRT/ V où nB est la quantité de matière du soluté B.

xA+ xB = 1 soit - ln xA =- ln(1-xB)

Si xB <<1 alors - ln(1-xB) voisin de xB.

d'où p = RT / V*mxB.

xB = nB/(nA+nB)

En solution diluée ( nB<<nA), xB voisin de nB/nA.

d'où p = RT nB /(nAV*m).

En solution diluée nAV*m voisin Vdroite voisin Vgauche = V.

Par suite : p = RT nB /V.

 



A.N : cas de la sève d'érable.

On prendra T= 290 K; masse volumique de la sève : rsève = 103 kg m-3.

La concentration du sucre dans une sève normale , assimilée à une solution aqueuse, est environ C=10 g/L.

Calculer la pression osmotique de la sève par rapport à l'eau du sol autour des racines.

nB/V =C/M avec M : masse molaire du saccharose C12H22O11.

M = 12*12+22+16*11 = 342 g/mol.

nB/V = 10/342 = 2,92 10-2 mol/L = 29,2 mol m-3.

p = RT nB /V.

p = 8,32*290* 29,2 = 7,05 104 Pa = 0,70 bar.


A quelle hauteur la sève peut-elle monter sous l'effet de la surpression ?

p =  rsève g h.

h = p / rsève g) = 7,05 104 / (103*9,8) =7,2 m.

La pression osmotique peut-elle expliquer la montée de la sève dans les grands arbres ( hauteur supérieure à 20 m) ?

Non, c'est l'évapotranspiration au niveau des feuilles.

Sous l'action de la chaleur solaire, les feuilles transpirent : l'eau contenue dans les feuilles s'évapore.

Cette évaporation entraîne une dépression dans les canaux qui transportent la sève : il en résulte un effet de succion dans les racines.

 



 

 


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