AurÚlie 10/09/07
 

Des lois de Kepler à l'étude d'un astéroïde bac S 09/ 2007 France 


Google

4 pts

L'objectif de cet exercice est d'étudier le mouvement de quelques planètes du système solaire et de déterminer la masse de l'astéroïde Rhea Sylvia, récemment découvert par une équipe d'astronomes. Celui-ci a la forme d'une grosse pomme de terre mesurant quelques centaines de kilomètres.

Par souci de simplification, dans tout l'exercice, les astres étudiés sont considérés à répartition sphérique de masse.

Donnée : constante de gravitation universelle G = 6,67 10 - 11 S.I

Les représentations vectorielles demandées sont à effectuer sans souci d'échelle.

Johannes Kepler, né le 27 décembre 1571 à Weil der Stadt, près de Stuttgart (Allemagne), mort le 15 novembre 1630 à Ratisbonne, est un astronome célèbre. Il a étudié et confirmé l'hypothèse héliocentrique (la Terre tourne autour du Soleil) de Nicolas Copernic. Il a également découvert que les trajectoires des planètes n'étaient pas des cercles parfaits centrés sur le Soleil mais des ellipses. En outre, il a énoncé les lois (dites lois de Kepler) qui régissent les mouvements des planètes sur leurs orbites. "

Planètes en orbite elliptique :

  1. La figure ci-dessous représente la trajectoire elliptique du centre d'inertie M d'une planète du système solaire de masse m dans le référentiel héliocentrique considéré galiléen. Les deux foyers F1 et F2 de l'ellipse et son centre O sont indiqués.

En utilisant une des lois de Kepler, justifier la position du Soleil indiquée sur la figure.

On suppose que les durées de parcours entre les points M1 et M'1 puis M2 et M'2 sont égales. En utilisant une des lois de Kepler, trouver la relation entre les aires hachurées A1 et A2 sur la figure.

La valeur de la vitesse moyenne entre les points M1 et M'1 est-elle inférieure, égale ou supérieure à celle entre les points M2 et M'2 ? Justifier.

 


Réponse :

Justifier la position du Soleil indiquée sur la figure :

Première loi ou loi des orbites : dans le référentiel héliocentrique, l'orbite de chaque planète est une ellipse dont l'un des foyers est le centre du soleil.

Relation entre les aires hachurées A1 et A2 sur la figure :

Deuxième loi ou loi des aires : le mouvement de chaque planète est tel que le segment de droite reliant le soleil et la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.


La distance M1 M'1 est inférieure à la distance M2 M'2.

" On suppose que les durées de parcours entre les points M1 et M'1 puis M2 et M'2 sont égales "

Donc la vitesse moyenne entre les points M1 et M'1 est inférieure à celle entre les points M2 et M'2.

 



Planètes en orbite circulaire :

Dans cette partie, pour simplifier, on modélise les trajectoires des planètes du système solaire dans le référentiel héliocentrique par des cercles de rayon r dont le centre O est le Soleil de masse MS.

Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.

Représenter sur la figure ci-dessous la force de gravitation exercée par le Soleil sur une planète quelconque du système solaire de masse m dont le centre d'inertie est situé au point M3.

Donner l'expression vectorielle F3 de cette force au point M3, en utilisant le vecteur unitaire u .

Pour la suite on considère que les valeurs des autres forces de gravitation s'exerçant sur la planète sont négligeables par rapport à la valeur de F3 .

En citant la loi de Newton utilisée, déterminer l'expression du vecteur accélération a3 du centre d'inertie d'une planète quelconque de masse m du système solaire dont le centre d'inertie est situé au point M3.

Représenter sur la figure les vecteurs accélérations a3 et a4 du centre d'inertie d'une planète quelconque du système solaire respectivement aux points M3 et M4.

En déduire la nature du mouvement du centre d'inertie d'une planète quelconque de masse m du système solaire.

Le graphe ci-dessous représente l'évolution du carré de la période de révolution des planètes Terre, Mars et Jupiter en fonction du cube du rayon de leur orbite. Ce graphe est-il en accord avec la troisième loi de Kepler ?

En utilisant ce graphe montrer que T2/r3 = 3,0 10-19 S.I

" Une équipe composée de Franck Marchis (université de Californie à Berkeley) et de trois astronomes de l'Observatoire de Paris, Pascal Descamps, Daniel Hestroffer et Jérome Berthier, vient de découvrir un astéroïde, nommé Rhea Sylvia, qui gravite à une distance constante du Soleil avec une période de révolution de 6,521 ans. "

D'après un article paru dans LE MONDE le 13.07.2005

Calculer la distance séparant les centres respectifs de Rhea Sylvia et du Soleil.

Donnée : 1 an = 365 jours.


Réponse :

Force de gravitation exercée par le Soleil sur une planète quelconque du système solaire de masse m située en M3 :

Expression du vecteur accélération a3 du centre d'inertie d'une planète quelconque de masse m du système solaire dont le centre d'inertie est situé au point M3.

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse m du solide par l'accélération de son centre d'inertie.

Les deux vecteurs accélération sont centripètes ; ils ont même valeur .

Le mouvement du centre d'inertie d'une planète quelconque de masse m du système solaire est circulaire uniforme.


Le graphe est une droite passant par l'origine.

3ème loi de Kepler : le carré de la période est proportionnel au cube du rayon de l'orbite.

Le graphe est donc en accord avec la troisième loi de Kepler.

Montrons que T2/r3 = 3,0 10-19 S.I :

Distance séparant les centres respectifs de Rhea Sylvia et du Soleil :

T2/r3 = 3,0 10-19 ; T= 6,521 *365*24*3600 = 2,056 108 s.

T2 = 4,23 1016 s2. r3 = 4,23 1016 / 3,0 10-19 = 1,41 1035 m3

r = 5,2 1011 m.


 


La troisième loi de Kepler comme balance cosmique… :

" Grâce au Very Large Telescope de l'European Southern Observatory (ESO) au Chili, les astronomes ont également découvert que Rhea Sylvia était accompagné de deux satellites baptisés Remus et Romulus. Leurs calculs ont montré que les deux satellites décrivent une orbite circulaire autour de Rhea Sylvia ; Romulus effectue son orbite en 87,6 heures. Les distances entre chaque satellite et Rhea Sylvia sont respectivement de 710 kilomètres pour Remus et 1360 kilomètres pour Romulus."

D'après un article paru dans LE MONDE le 13.07.2005

 

On s'intéresse désormais au mouvement circulaire uniforme du centre d'inertie d'un satellite de Rhéa Sylvia. L'étude est faite dans un référentiel "Rhéa Sylvia-centrique" muni d'un repère dont l'origine est le centre de Rhéa Sylvia et dont les trois axes sont dirigés vers des étoiles fixes.

On rappelle que la troisième loi de Kepler a pour expression littérale : T2/r3 =4p2/(GM). Dans le cadre de l'étude du mouvement de Remus et Romulus autour de Rhea Sylvia, donner la signification de chaque grandeur et son unité. En déduire l'unité de G dans le système international.

À l'aide des données de l'article précédent et de la troisième loi de Kepler, déterminer la masse de l'astéroïde Rhea Sylvia.

 


Réponse :

T2/r3 =4p2/(GM)

T : période (s) ; r : distance (m) ; M : masse de l'astre central (kg)

G =4p2 r3 /(T2M) constante de gravitation m3 s-2 kg-1.

Masse de l'astéroïde Rhea Sylvia :

M= 4p2 r3 /(T2G) ; T=87,6 h = 87,6*3600 =3,154 105 s ; T2=9,945 1010 s2.

r = 1360 km = 1,36 106 m ; r3=2,515 1018 m3.

M= 4 *3,142*2,515 1018 / (9,945 1010 * 6,67 10-11) = 1,50 1019 kg.

 
retour -menu