Aurélie 29/11/06

 

Oscillateur mécanique vertical

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Le sismographe se compose d'une masse M relié a un ressort de raideur K de longueur au repos l0. L'extremité du ressort est attaché en un point fixe du référentiel Rl du laboratoire que l'on suppose galiléen. On repère le mouvement du centre de masse M du bloc par son élongation x(t) mesurée a partir de la position d'équilibre de l'ensemble ressort + masse.

  1. Schéma les forces en présence :

    poids : vertical, vers le bas, appliqué au centre d'inertie, valeur : mg

    tension du ressort : verticale, dirigée vers la position d'équilibre, appliquée au point de fixation masse ressort, valeur proportionnelle à la déformation du ressort.

  2. Appliquer le principe fondamental de la dynamique ( 2ème loi de Newton) pour établir l'équation du mouvement :
    écrire cette loi sur un axe vertical dirigé vers le bas ; l'origine de l'axe est la position d'équilibre stable du système masse ressort :

    à l'équilibre : mg = k(Léq-L0)

    écarté de sa position d'équilibre le ressort oscille : L= Léq +x

    mg-k(L-l0)= m d²x/dt²

    mg-k( Léq +x-l0)= m d²x/dt²

    mg-k( Léq -l0) - kx =m d²x/dt² ; or mg = k(Léq-L0)

    m d²x/dt² + k x=0 (1)

  3. Pulsation w0 ( rad s-1) :
    w0 = [k/m]½ d'où l'écriture de (1) : d²x/dt² + w20 x = 0 ou x" +w20 x =0. (1)
  4. La solution de cette équation peut se mettre sous la forme x(t)=A cos(Bt) ou A et B sont des constantes positives non nulles :
    Calcul de B pour que x(t)=AcosBt soit solution de l'équation différentielle.
    dériver deux fois par rapport au temps :
    x' = AB (-sin (Bt) ; x" = -AB2cos(Bt)
    repport dans (2) : -AB2cos(Bt) +
    w20A cos(Bt) =0 ; B=w0
    On éloigne la masse de sa position d'equilibre d'une quantité d, on a donc à t=0, x(0)=d ;
    à partir de cette condition initiale,on détermine la constante A en fonction des données du problème.
    x(t=0)=A cos(0) = d soit
    A=d.

    Le mouvement de la masse est un mouvement rectiligne sinusoïdal, sans amortissement.
  5. On considere que le mouvement est amorti par un frottement visqueux de coefficient f. On précise alors que la force de frottement visqueux est proportionelle à la vitesse.
    écrire cette loi sur un axe vertical dirigé vers le bas ; l'origine de l'axe est la position d'équilibre stable du système masse ressort :

    L= Léq +x

    mg-k(L-l0)-2lv= m d²x/dt²

    mg-k( Léq +x-l0)-k'v= m d²x/dt²

    mg-k( Léq -l0) - kx -k'v =m d²x/dt² ; or mg = k(Léq-L0)

    m d²x/dt² +k'v + k x=0 avec v = dx/dt = x'

    m d²x/dt² +k'x' + k x=0 (3)

    (3 ) peut s'écrire : d²x/dt² +k'/ m x' + k/ m x=0
    or
    w20 = k/m ; on pose 2l= k'/m ;
    d'où :
    d²x/dt² +2l x' + w20 x=0 (4)
    Dimension de
    l :

    d²x/dt² a la dimension d'une accélération (m/s²) ou bien : [d²x/dt²]= L T-2.
    chaque terme de la somme de l'équation (4) a donc la dimension d'une accélération
    de plus x' ou dx/dt a la diension d'une vitesse ( m/s) soit [x']=L T-1.
    [2
    lx'] = L T-2 ; [x']=L T-1 ; d'où [l] = T-1 ( inverse d'un temps)
  6. En fonction du signe du discriminant D les solutions de cette équation sont :
    x" +2
    l x' + w20 x=0
    équation caractéristique associée : r²+2
    lr+ w20 =0
    D=4(l2- w20 )
    si
    D <0 : pulsation w² = w0² -l²
    solution : x = B exp( -lt) sin (wt+j), régime pseudopériodique ( amortissement faible)
    si D =0 : r = -l ; solution : x = (At+B )exp( -lt) ; régime critique.
    si D >0 : r1 = -l+ w ; r2 = -l- w ;
    solution : x = C1 exp( r1 t) + C2 exp( r2 t) ; régime apériodique.
  7. Vérifions que x(t) est solution de l'équation différentielle : ( si D>0)
    dériver par rapport au temps x'(t) = C1 r1exp( r1 t) + C2 r2 exp( r2 t)
    dérivée seconde : x"= C1 r21exp( r1 t) + C2 r22 exp( r2 t)
    repport dans x" +2l x' + w20 x=0
    C1 r21exp( r1 t) + C2 r22 exp( r2 t)+2l[C1 r1exp( r1 t) + C2 r2 exp( r2 t)]+ w20[C1 exp( r1 t) + C2 exp( r2 t)]=0
    [ r21+2lr1 + w20 ]C1exp( r1 t) + [ r22+2lr2 + w20 ]C2exp( r2 t) =0 (5)
    Or [ r21+2lr1 + w20 ] = [ r22+2lr2 + w20 ] =0
    (5) est donc bien vérifiée quel que soit t : x = C1 exp( r1 t) + C2 exp( r2 t) est bien solution de (4)

     



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