Aurélie 18/10/06

 

CAPES physique chimie ( d'après concours 2000) Etude d'un pendule simple

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 On considère le mouvement d'un pendule simple qui oscille dans un milieu où les forces de frottement sont inexistantes.
Le pendule est constitué d'un objet ponctuel M de masse m, accroché par l'intermédiaire d'un fil rigide au point O fixe. On suppose le fil rigide sans masse. L'ensemble est plongé dans le champ de pesanteur terrestre uniforme. On écarte le fil de sa position d'équilibre d'un angle q(t=0) = q0 et on le lâche sans vitesse initiale.

OM=l=1,0 m

Oscillations de faible amplitude :
  1. Enoncer le théorème du moment cinétique appliqué à un point matériel.
  2. Montrer que la trajectoire du point M est plane.
  3. Etablir l'équation différentielle vérifiée par l'angle q(t) en fonction du temps. Donner l'expression de la pulsation w0 du mouvement.
  4. On mesure pour 20 périodes une durée de 40,12 s. En déduire la valeur de g.
Cas général :

On se place dans le cas d'oscillations d'amplitude plus importante. On désigne par Em l'énergie mécanique, Ep l'énergie potentielle et Ec l'énergie cinétique du pendule.

  1. Donner les expressions des énergies cinétique et potentielle en fonction de m, g, l , q et dq/dt. On prend l'origine de l'énergie potentielle pour q = 0.
  2. En déduire que l'équation de la trajectoire dans le plan de phase du point P de coordonées q (t) et y = 1/w0dq/dt peut se mettre sous la forme :
y2 + 2(1-cosq) = 2Em/ (mgl).

L'allure générale du portrait de phase de cette équation est donnée ci-dessous :

- Quelles sont les trajectoires de phase correspondant à Em<2mgl ?
- A quelle situation correspondent les points A ?
- Quelles sont les courbes correspondant : - à un mouvement oscillatoire périodique autour d'une position d'équilibre stable ? - A un mouvement de révolution.




 corrigé
Oscillations de faible amplitude :

Enoncé du théorème du moment cinétique appliqué à un point matériel :

Le référentiel d'étude étant galiléen :

La dérivée par rapport au temps du moment cinétique du point matériel M par rapport au point fixe O est égal au moment, par rapport à ce point, de la somme vectorielle des forces agissant sur le point matériel M .

La masse m est soumise à deux forces : la tension du fil et son poids.

(1) : j'exprime le moment cinétique

(2) Le moment, par rapport à O, de la tension est nul : cette force rencontre le point O.

(3) : j'exprime le moment en O du poids.

(4) : j'applique le théorème du moment cinétique

(4) montre que la trajectoire du point M est plane, celui de la figure.

(4) donne l'équation différentielle vérifiée par l'angle q(t) en fonction du temps : q " + g/l sin q = 0

Dans le cas des faibles amplitudes angulaires, on peut confondre sin q et l'angle q exprimé en radian.

D'où : q " + g/l q = 0

Expression de la pulsation w0 du mouvement : w0 = (g/l)½.

valeur de g :

On mesure pour 20 périodes une durée de 40,12 s. T0 = 40,12 / 20 = 2,006 s

Or w0 = 2p/T0 =6,28 / 2,006 = 3,13 rad/s.  g=w0 2l = 9,80 m s-2.


Cas général :

On se place dans le cas d'oscillations d'amplitude plus importante. On désigne par Em l'énergie mécanique, Ep l'énergie potentielle et Ec l'énergie cinétique du pendule.

Expressions des énergies cinétique et potentielle en fonction de m, g, l , q et dq/dt = q '. On prend l'origine de l'énergie potentielle pour q = 0.

Ec = ½mv2 = ½m(lq ')2.

Ep = mgl(1-cosq)
Em= ½m(lq ')2 + mgl(1-cosq)

Equation de la trajectoire dans le plan de phase du point P de coordonées q (t) et y = 1/w0dq/dt :

Em= mll q '2 +g (1-cosq)] ; 2Em/( ml )= l q '2 +2g (1-cosq)

2Em/( mg l ) =l /g q '2 +2 (1-cosq)

or w0 = (g/l)½ ; 2Em/( mg l ) = (q '/w0 ) 2 +2 (1-cosq)

y2 + 2(1-cosq) = 2Em/ (mgl).

L'allure générale du portrait de phase de cette équation est donnée ci-dessous :

Les trajectoires de phase 7 et 8 correspondant à Em<2mgl.
Les points A correspondent à un équilibre instable.
Les courbes 7 et 8 correspondent à un mouvement oscillatoire périodique autour d'une position d'équilibre stable.

Les courbes 1 à 4 correspondent à un mouvement de révolution.





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