Aurélie 3/6

 

Théorème de l'énergie cinétique ( mécanique )

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différencier l'expression de l'énergie cinétique : d(½mv²) = m v dv

or la vitesse est da dérivée de l'abscisse par rapport au temps : v = dx/dt d'où : d(½mv²) = m dx/dt dv = m dv/dt dx

or m dv/dt =ma = F ( seconde loi de Newton) d'où d(½mv²) = F dx.  


I- Un solide (S) de masse m = 5 kg est mobile sur des rails ABC situés dans un plan vertical. AB= 4,0 m ; BD est un arc de cercle de rayon R = 10 m. (S) est initialement immobile en A. On exerce entre A et B, sur (S), une force F parallèle à AB et de valeur constante constante . Le solide monte jusqu’en D puis revient en arrière. H= 3 m ; g = 9,8 m s–2. Les frottements sont néglileables.


 

théorème de l’énergie cinétique : vitesse en B

de B en D : R, perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas. Le travail du poids est résistant ( montée) et vaut : WP= - mgH

L'énergie cinétique en D est nulle ( arrêt) ; l'énergie cinétique en B vaut : ½mv² ( v : vitesse en B)

La variation de l'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces appliquées au solide : 0-½mv² = -mgH

v²= 2gH = 2*9,8 * 3 = 58,8 ; v = 7,7 m/s.

théorème de l’énergie cinétique : valeur de F

de A en B : les forces R et P perpendiculaires à la vitesse, ne travaillent pas. Le travail de la force F vaut WF=F AB.

L'énergie cinétique en A est nulle ( arrêt) ; l'énergie cinétique en B vaut : ½mv² ( v : vitesse en B)

La variation de l'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces appliquées au solide : ½mv² -0= F AB

F= mv²/(2AB) = 5*7,7² / 8 = 36,7 N.

théorème de l’énergie cinétique : vitesse en C . ( h = 1,5 m).

de B en C : R, perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas. Le travail du poids est résistant ( montée) et vaut : WP= - mgh

L'énergie cinétique en C vaut ½mv²C ; l'énergie cinétique en B vaut : ½mv² ( v : vitesse en B)

La variation de l'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces appliquées au solide : ½mv²C -½mv² = -mgh

C = v² -2gh = 58,8 -2*9,8*1,5 =29,4 ; vC = 5,4 m/s.

L'expression de cette vitesse indique que vC ne dépend que de la vitesse en B et de l'altitude h, peut importe le sens du parcours.

ou bien appliquer le théorème de l’énergie cinétique entre les deux passages du solide en M situé sur l'arc BD à l'aller puis au retour :

R ne travaille pas ; le travail du poids est nul ( au même point la différence d'altitude est nulle). Donc l'énergie cinétique, par suite la valeur de la vitesse ne change pas à l’aller et au retour.




Les frottements ne sont plus négligés. La valeur f des frottements est constante. Le solide s'arrète au retour en B.

Exprimer puis calculer f et F : théorème de l’énergie cinétique :

de D en B : R, perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas. Le travail du poids est moteur ( descente) et vaut : WP= mgH

Le travail de f ( résistant) vaut : Wf= -f *longueur de l'arc de cercle DB = -f OC q (q en radian )

cos q = (OB-H) / OB = (10 -3) / 10 = 0,7 ; q = 0,795 rad.

L'énergie cinétique en D est nulle ( arrêt) ; l'énergie cinétique en B est nulle ( arrêt)

La variation de l'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces appliquées au solide :

0-0= mgH - f *OC q d'où f = mgH /(OC q ) = 5*9,8*3/(10*0,795)= 18,5 N.

sur le trajet complet : R, perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas. Le poids ne travaille pas ( altitude identique au départ A et à l'arrivée B)

Le travail de f ( résistant) vaut : Wf= -f (AB+2OC q ) ; le travail de F vaut WF=F AB

L'énergie cinétique en A est nulle ( arrêt) ; l'énergie cinétique en B est nulle ( arrêt)

0-0 = -f (AB+2OC q ) + F AB soit F= f (AB+2OC q ) /AB = 18,5(4+20*0,795) / 4 = 92 N.


action R du support au point C :

Ecrire la seconde loi de Newton sur un axe normal à la trajectoire et dirigé vers O :

R est centripète, dirigée vers O et sa valeur est : R= m[v²C/OC + g cosq]

cos q = (OB-h) / OB = (10 -1,5) / 10 = 0,85 ; q = 31,8°.

R= 5(29,4/10+9,8 * 0,85)= 56,3 N.

Au point D le solide ne peut pas être en équilibre : la somme vectorielle des forces n'est pas nulle. durée des parcours AB et BA :

AB : écrire la seconde loi de Newton : F=ma soit a = F/m = constante ; vitesse initiale nulle :

AB=½at² = ½F/mt² soit t² = 2AB m/F = 8*5/36,7 =117,4 ; t = 1,1 s.

BA : solide pseudo-isolé , donc mouvement rectiligne uniforme . AB = vt soit t = AB/v = 4/7,7=0,52 s.


Comparer à l’aller et au retour :
- les valeurs de la vitesse en un point quelconque de l’arc BD

appliquer le théorème de l’énergie cinétique entre les deux passages du solide en M situé sur l'arc BD à l'aller puis au retour :

R ne travaille pas ; le travail du poids est nul ( au même point la différence d'altitude est nulle). Le travail des frottements est négatif, donc la vitesse diminue : la vitesse au retour est plus petite qu’à l’aller.


- la durée des trajets BC et CB :

La vitesse est plus faible au retour, donc la durée du retour est plus grande que celle de l’aller.


On exerce sur le solide (S) une force F' plus faible ; ce dernier atteint D puis s'arrète, au retour, à une hauteur h' = 0,5 m. Justifier ce comportement du solide.

Le solide s'arrête au retour sur l'arc de cercle lorsque la somme vectorielle des forces est nulle.

L'angle q1 vaut alors : cos q1 = (OB-h') / OB = (10-0,5) / 10 = 0,95 ; q1 = 0,318 rad.

A la descente le travail du poids est moteur. La force motrice est mg sin q1 = 5*9,8*0,312 = 15,3 N, valeur insuffisante pour vaincre les frottements ( 18,5 N).

Pa r contre la force motrice en D vaut : mg sin q = 5*9,8 *0,714 =35 N valeur suffisante pour vaincre les frottements : le mobile ne reste pas en D.





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