Aurélie 02/06

 

Conductivité thermique

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Flux thermique :

On considère, un cylindre homogène en cuivre, de longueur b et de rayon a, parcouru par un courant électrique uniforme et constant d'intensité I. Caractéristiques du cylindre dans les conditions de l'étude :

• résistivité électrique r=2,0.10-8 W m ;

• conductibilité thermique : l = 400 W K-1m-1.

• a=1,0 mm.  

On suppose que l'énergie thermique produite dans le conducteur est dissipée radialement par conduction et on néglige les effets de bord. On rappelle que la résistance R d’un conducteur cylindrique homogène résistivité électrique r, de longueur b et de section S, est donnée par la relation : R=rb/S

  1. Exprimer la puissance p dissipée par unité de volume en fonction des paramètres r, a et I.
  2. Exprimer le flux thermique de conduction F (r) qui traverse une surface cylindrique de longueur b et de rayon r (r<a)
  3. En faisant un bilan thermique sur l'élément de volume compris entre les surfaces cylindriques de rayons r et r+dr, montrer que la température T satisfait l'équation différentielle suivante : d(rdT/dr)/dr= -p/l r.
  4. Intégrer cette équation. En déduire l'expression de l'écart de température DT entre l'axe et la surface.
  5. Calculer DT pour I=20 A. Commenter.



corrigé
puissance P dissipée : P= RI² avec R=rb/S et S= pa² ; p= rbI²/(p)

volume du cylindre V= pb

puissance p dissipée par unité de volume p= P/V = rI²/(pa² )2 en Wm-3.

flux thermique de conduction qui entre par une surface cylindrique de longueur b et de rayon r :

-l* surface latérale de rayon r * dT/dr = -l 2pr b(dT/dr )r.

flux thermique de conduction qui sort par une surface cylindrique de longueur b et de rayon r+dr :

-l* surface latérale de rayon r +dr * dT/dr = -l 2p(r+dr)b(dT/dr )r+dr.

élément de volume compris entre les surfaces cylindriques de rayons r et r+dr : dv= 2prbdr

puissance interne dans cet élément de volume : pdv = 2pbp rdr

bilan énergétique en régime permanent : 2pbp rdr -l 2pr b(dT/dr )r. + l 2p(r+dr)b(dT/dr )r+dr=0

p rdr -l r [dT/dr ]r + l (r+dr)[dT/dr ]r+dr=0

p rdr +l d (r dT/dr )=0 ou -pr/ l= d(rdT/dr)/dr

d(rdT/dr)/dr= -p/l r s'écrit : dT/dr+ r d²T/dr²+p/l r =0

solution du type T= ar²+br+c ; dT/dr= 2ar+b ; d²T/dr²= 2a.

2ar+b+ 2ar + p/l r =0 soit b = 0 et a = - p/(4l) ;

T= - p/(4l)r² + c; si r =0, T=c=T0 ; si r = a, T= -p/(4l) a² +T0 ; DT= p/(4l) a².

or p= rI²/(pa² )2 d'où DT= rI²/(p2a² 4l).

application numérique :

DT=2 10-8*400/(3,14²*10-6*4*400)=0,005 °C.

la section du fil est proche de 3 mm², celui-ci est tout à fait capable de supporter sans dommage un courant d'intensité 20 A.



conducteur et gaine isolante :

Soit un conducteurde rayon r0, parcouru par un courant d'intensité I, entouré d'une gaine isolante d'épaisseur "a". La temprétature extérieure à la gaine constante vaut T0. Le conducteur a une conductivité électrique g et d'une conductivité thermique l1. La conductivité thermique de la gaine est l2. Le régime est stationnaire et on néglige les effets de bords ; on suppose le contact thermique parfait entre la gaine et le conducteur.

  1. Déterminer la températureT(r) dans le conducteur et dans la gaine.

 


corrigé
Le conducteur seul : ( indice 1 pour le conducteur; indice 2 pour la gaine)

puissance "p" dissipée (effet joule) par unité de volume V : p= RI² / V

avec R=(1/g)L/S et S= p r0² section (m²) ; volume du cylindre V= p r0²L

puissance "p" dissipée par unité de volume p= P/V = (1/g) I²/(pr0² )2 en Wm-3.

flux thermique de conduction qui entre par une surface cylindrique de longueur L et de rayon r :

-l1* surface latérale de rayon r * dT1/dr = -l 2pr L(dT1/dr )r.

flux thermique de conduction qui sort par une surface cylindrique de longueur L et de rayon r+dr :

-l1* surface latérale de rayon r +dr * dT1/dr = -l 2p(r+dr)L(dT1/dr )r+dr.

élément de volume compris entre les surfaces cylindriques de rayons r et r+dr : dv= 2prLdr

puissance interne dans cet élément de volume : pdv = 2pLp rdr

bilan énergétique en régime permanent : 2pLp rdr -l1 2pr L(dT1/dr )r. + l1 2p(r+dr)L(dT1/dr )r+dr=0

p rdr -l1 r [dT1/dr ]r + l1 (r+dr)[dT1/dr ]r+dr=0

p rdr +l1 d (r dT1/dr )=0 ou -pr/ l1= d(rdT1/dr)/dr

d(rdT1/dr)/dr= -p/l1 r s'écrit : dT1/dr+ r d²T1/dr²+p/l r =0

solution du type T1= ar²+br+c ; dT1/dr= 2ar+b ; d²T1/dr²= 2a.

2ar + b + 2ar + p/l r =0

par identification il vient : soit b = 0 et a = - p/(4l1) ;

T1= - p/(4l1)r² + c

La constante "c" sera déterminée à partir de l'expression de T2(r), température dans la gaine


gaine isolante : même méthode

bilan énergétique en régime permanent : -l2 2pr L(dT2/dr )r. + l2 2p(r+dr)L(dT2/dr )r+dr=0

-l2 r (dT2/dr )r. + l2 (r+dr)(dT2/dr )r+dr=0

l1 d (r dT2/dr )=0 ; d (r dT2/dr )=0 ; r dT2/dr = constante = C

dT2= C dr/ r ; T2= C ln r + C1, ( C1 est une constante d'intégration )

C est déterminée en écrivant la continuité du flux thermique en r= r0 :

-l1 2pr L(dT1/dr )r = -l2 2pr L(dT2/dr )r

-l1 (dT1/dr )r0 = -l2 (dT2/dr )r0

(dT1/dr )r0 = - p/(4l1)2r0 dr; (dT2/dr )r0 =C/r0dr

½pr0 = -l2C/r0

C= -½p r²0 / l2

C1 est déterminée en écrivant que T2= T0 en r = r0+a :

T0= C ln (r0+a)+ C1 ; C1 = T0 -C ln (r0+a)

T2= C ln r + T0 -C ln (r0+a) =T0 -C ln( r /(r0+a))= T0 - ½p r²0 / l2 ln( r /(r0+a))

On détermine c en écrivant la continuité de la température en r = r0 :

T1(r0)= - p/(4l1)r0² + c ; T2(r0)= T0 - ½p r²0 / l2 ln( r0 /(r0+a))

- p/(4l1)r0² + c = T0 - ½p r²0 / l2 ln( r0 /(r0+a))

c = T0 - ½p r²0 / l2 ln( r0 /(r0+a))+ p/(4l1)r0²

T1= T0 - ½p r²0 / l2 ln( r0 /(r0+a))+ p/(4l1)( r0² - r² )



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