Aurélie 18/10/06

 

CAPES physique chimie ( concours interne 2005) Mouvement d'un satellite dans le champ de gravitation terrestre

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Un satellite S, assimilable à un point matériel de masse m, est soumis uniquement à la force gravitationnelle de la Terre. La Terre est considérée come un corps sphérique homogène de rayon R, de masse M et de centre O. La Terre tourne sur elle même, autour de sa ligne des pôles, à la vitesse angulaire W. On ne considère pas son mouvement de révolution autour du soleil.

On travaille dans le référentiel géocentrique et dans le repère cylindrique, où le plan polaire est confondu avec la trajectoire du satellite.

Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.

On désigne par r(t)= OS, le vecteur position du satellite et par v(t) = dr/dt, sa vitesse.

  1. Qu'est ce qu'un référentiel galiléen ? Le référentiel géocentrique peut-il être considéré comme galiléen ?
  2. Donner l'expression vectorielle du champ de force f(r) auquel est soumis le satellite. S'agit-il d'un champ de forces centrales ? Justifier.
  3. Montrer que la force f qui s'exerce sur le satellite S dérive d'une énergie potentielle de gravitation Ep. Etablir l'expression de cette énergie potentielle en la prenant par convention nulle à l'infini. Justifier physiquement le fait que l'énergie potentielle de gravitation soit négative quelle que soit la distance r finie.
Satellite en orbite circulaire dans le champ de gravitation terrestre :

On considère que le satellite décrit une orbite circulaire à l'altitude h.

  1. Montrer que la trajectoire circulaire implique un mouvement uniforme.
  2. Exprimer la vitesse v et la période T de ce satellite en fonction de G, M, R, h.
  3. A.N: Déterminer l'altitude qu'il faut atteindre pour obtenir la période de rotation de 101 min de spot 1. Quelle est alors la vitesse du satellite ? Comparer cette vitesse à la vitesse de libération terrestre.
  4. Exprimer l'énergie cinétique Ec, l'énergie potentielle Ep et l'énergie mécanique Em du satellite dans le référentiel géocentrique en fonction de m et de v. Quelle relation simple existe t-il entre Em et Ec ?

    Le satellite S a été lancé à partir d'une base terrestre située à la latitude l d'un point P à la surface de la Terre. Exprimer l'énergie mécanique Esol de ce satellite dans le référentiel géocentrique avant son lancement.

  5. Dans cette question , on ne tient pas compte des frottements dans l'atmosphère, pas plus que de l'énergie dépensée pour propulser la fusée porteuse, hors satellite.
    - Le satellite a été lancé à partir d'une base terrestre située au voisnage de l'équateur. Déterminer l'énergie minimale W0, qu'il a fallu dépenser pour le placer sur orbite.
    - Le satellite a été lancé depuis Cap Canaveral( l= 28°N). Déterminer l'énergie minimale Wl, qu'il a fallu dépenser pour le placer sur orbite.
    - Est-il, sur le plan énergétique, préférable d'effectuer des lancements depuis la base de Kourou ( sur l'équateur) ou du Cap Canaveral ?
    G= 6,67 10-11 SI ; M= 5,98 1024 kg ; R= 6,37 106 m ; masse du satellite m = 1830 kg.




 corrigé
référentiel : objet par rapport auquel on se repère pour l'étude du mouvement d'un système ; on lui associe un repère et une origine des temps.

référentiel galiléen : dans ce référentiel le principe d'inertie ou 1ère loi de Newton s'applique " un point matériel pseudo-isolé demeure dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme".

Le référentiel héliocentrique a pour origine le Soleil et des axes pointant vers des étoiles lointaines qui paraissent fixes.

Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de la Terre et des axes parallèles à ceux du référentiel héliocentrique. Ce référentiel peut être considéré comme galiléen pour des durées de quelques minutes. ( La Terre effectue un mouvement de rotation autour d'un axe nord sud)

Expression vectorielle du champ de force f(r) auquel est soumis le satellite :

Le satellite n'est soumis qu'à la force de gravitation attractive exercée par la Terre. La direction de cette force passe toujours par le point O, centre de la Terre : il s'agit donc d'un champ de forces centrales.

f(r) = GMm/r2(-er)

Montrons que la force f qui s'exerce sur le satellite S dérive d'une énergie potentielle de gravitation Ep.

Le travail de la force f(r) ne dépend que des positions initiale et finale ( peu importe le chemin suivi) : la force est conservative.

On peut associer à cette force, une fonction scalaire ou énergie potentielle notée Ep(r), définie à une constante près ; la variation de l'énergie potentielle entre les points A et B est égale à l'opposée du travail de la forcef(r) entre ces points.

En prenant B situé à l'infini ( par convention cette énergie potentielle est nulle à l'infini), il vient : Ep = -GMm/r.

Pour éloigner deux masses l'une de l'autre, il faut exercer un travail moteur, opposé au travail de la force de gravitation donc égal à la variation d'énergie potentielle :

DEp >0 ; Ep fin - Ep initial >0 ; or Ep fin tend vers zéro donc Ep initial <0

l'énergie potentielle de gravitation est donc négative quelle que soit la distance r finie

Le signe négatif dans le terme d'énergie potentielle traduit le fait que celle-ci augmente si R croît.


Satellite en orbite circulaire dans le champ de gravitation terrestre :

On considère que le satellite décrit une orbite circulaire à l'altitude h.

Montrons que la trajectoire circulaire implique un mouvement uniforme :

Le satellite n'est soumis qu'à la force de gravitation centripète ; cette force est à chaque instant perpendiculaire à la vitesse et en conséquence sa puissance est nulle. L'énergie cinétique du satellite ne varie pas : donc la valeur de la vitesse est constante ( mouvement uniforme).

Expression de la vitesse v et la période T de ce satellite en fonction de G, M, R, h :

le satellite est soumis à la seule force de gravitation centripète exercée par la planète

M : masse (kg) de la planète ; m : masse du satellite (kg) ; R (m) rayon planète ; h (m) altitude depuis le sol

suivant l'axe n la seconde loi de Newton s'écrit : GMm /(R+h)² = m aN= mv²/ (R+h)

d'où la valeur de la vitesse (m/s): v² =GM / (R+h). indépendante de la masse du satellite

La période de révolution T du satellite (seconde) est le temps mis par le satellite pour faire un tour et ce d'un mouvement uniforme.

2 p (R+h) =vT

élever au carré, puis remplacer v² par l'expression ci dessus.

4p² (R+h) ² = v² T² = GM/ (R+h) T²

ou T² =4p² /(GM)(R+h)3.

soit T² /(R+h)3 = 4p² / (GM) rapport constant pour une planète donnée.(3ème loi de Kepler)

distance en mètre, période en seconde, masse en kg.

Déterminons l'altitude qu'il faut atteindre pour obtenir la période de rotation de 101 min de spot 1:

T= 101 min = 101*60 = 6060 s ; G= 6,67 10-11 SI ; M= 5,98 1024 kg ;

(R+h)3 = T2GM/(4p2)=60602 * 6,67 10-11 * 5,98 1024 / (4*3,142)=3,72 1020 .

R+h = 7,19 106 m ; h = 7,19 106- 6,37 106 = 8,18 105 m = 818 km.

Calcul de la vitesse du satellite :

v=[GM/(R+h)]½ =[6,67 10-11 * 5,98 1024 / 7,19 106 ]½ = 7,45 103 m/s, inférieure à la vitesse de libération terrestre.

La vitesse de libération d'un corps quittant la Terre est de l'ordre de 11,2 103 m/s.


Energie cinétique Ec, énergie potentielle Ep et énergie mécanique Em du satellite dans le référentiel géocentrique en fonction de m et de v :

Ec = ½mv2 ; Ep= -GMm/r avec v2= GM/r soit Ep= - mv2 ; Em = Ec+ Ep= -½mv2 ;

Une relation simple existe entre Em et Ec : Em = - Ec.


La Terre est en rotation d'Ouest vers l'Est à une vitesse angulaire W= 6,28 / (24*3600) = 7,3 10-5 rad/s.

La vitesse linéaire transmise par la Terre à un corps lancé depuis sa surface est :

à l'équateur : v = W R = 7,3 10-5 * 6,37 106 = 463 m/s.

à la latitude l = 28°N : vl= W R cos l = 7,3 10-5 * 6,37 106 cos 28 = 409 m/s.

Cette vitesse, tangente à la surface du globe est dirigée vers l'Est.

Une base de lancement proche de l'équateur conduit à une vitesse initiale de lancement plus grande que celle d'un site situé à une latitude supérieure. Cela est un énorme avantage : cette vitesse additionnée vectoriellement avec la vitesse de la fusée porteuse, détermine la vitesse finale du satellite.

 

Le satellite S est lancé à partir d'une base terrestre proche de l'équateur de la Terre.

Expression de l'énergie mécanique Esol de ce satellite dans le référentiel géocentrique avant son lancement :

l'énergie potentielle vaut Ep= -GMm/R ; l'énergie cinétique communiquée par la Terre vaut : Ec = ½mv2 avec v = 463 m/s

l'énergie mécanique vaut : Esol = -GMm/R + ½mv2

Esol =-6,67 10-11*5,98 1024*1830/6,37 106 + 915*4632 = -1,1439 1011 J

Le satellite est lancé depuis Cap Canaveral( l= 28°N).

l'énergie mécanique vaut : Esol = -GMm/R + ½mvl2

Esol =-6,67 10-11*5,98 1024*1830/6,37 106 + 915*4092 = -1,1443 1011 J

Energie mécanique finale du satellite à l'altitude h=818 km : Em=-Ec=-½m*(7,45 103 )2= - 915*(7,45 103 )2= -5,078 1010 J

Energie minimale W0 dépensée pour placer le satellite sur orbite :

Energie mécanique finale - Energie au sol = -5,078 1010 +1,1439 1011 = 6,360 1010 J
Energie minimale Wl, dépensée pour le placer sur orbite :

Energie mécanique finale - Energie au sol = -5,078 1010 +1,1443 1011 = 6,365 1010 J





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