Aurélie 28/8/6

Gravitation

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Deux billes de plomb

Quel diamètre deux billes de plomb (r=11 600 kg/m3 ) identiques doivent-elles avoir pour s'attirer mutuellement avec une force de 0,01N ?

On suppose les deux billes en contact.


corrigé
Force gravitationnelle : 2 objets ponctuels A et B de masses m et m' sont soumis à une force attractive, dirigée suivant la droite (AB), de valeur :

F = Gmm'/AB² avec G=6,7*10-11, constante de gravitation.

Cette relation reste valable pour des objets non ponctuels, s'ils sont homogènes et sphériques : A et B sont les centres des sphères.

Les billes se touchent, donc la distance AB est égale au diamètre d'une bille : AB= 2R, avec R, rayon d'une bille.

masse d'une bille : m (kg)= volume (m3) fois masse volumique ( kg /m3); m = Vr.

volume d'une sphère de rayon R : V = 4/3pR3.

par suite m = 4/3pR3r et m=m'

D'où l'expression de la force de gravitation :

F = Gmm'/AB² = G(4/3pR3r )2 / (2R)2= G(2/3pR2r )2.

R4 = 9F/[G(2pr )2].

R2=3(F/G)½/(2pr)

R2= 1,5(0,01/6,7*10-11)½/(3,14*11600) = 0,50 m2.

prendre la racine carrée, d'où R= 0,7 m ; AB= 1,4 m.





Masse de la Terre

Déterminez la masse de la Terre et sa masse volumique moyenne connaissant son rayon et la valeur de g à sa surface. R= 6400 km = 6,4 106 m ; g = 9,81 N/kg.


corrigé
On considère un corps ponctuel de masse m situé à la surface de la terre, de masse M et de rayon R.

Le corps subit de la part de la Terre une force attractive, dirigée vers le centre de la Terre, de valeur F= GMm/R²

De plus la force de gravitation peut être assimilée au poids du corps de masse m : F= mg

par suite GM/R²= g d'où M= gR²/G= 9,81*(6,4 106)2/ 6,7 10-11 = 6,0 1024 kg.


masse d'une sphère : M (kg)= volume (m3) fois masse volumique ( kg /m3); M = Vr.

volume d'une sphère de rayon R : V = 4/3pR3.

par suite M = 4/3pR3r d'où r = 3M/(4pR3) = 3*6 1024 / [4*3,14*(6,4 106)3] = 5,5 103 kg m-3.



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