Aurélie 20/3/6

d'après concours interne d'ingénieur territorial 2003 Mécanique, électricité, énergétique

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Thermodynamique- dynamique ( 4 pts).

A. Dans une carabine à air comprimé, une masse d'air (assimilée à un gaz parfait) telle que g=1,4, ocupe un volume V= 5 cm3 sous la pression P0 =106 Pa, à la température de 15°C. Cette masse d'air se détend adiabatiquement dans le canon de longueur L=1 m et de section s= 0,25 cm², en propulsant le projectile de masse m= 1g, dans l'atmosphère.

  1. Calculer la pression P1 de la masse d'air à la fin de la détente.
  2. Calculer la température de la masse d'air à la fin de la détente.
  3. Calculer le travail W fourni par la masse d'air au cours de la détente.
  4. En supposant que ce travail est intégralement cédé à la balle pour la propulser, quel est le module de la vitesse à la sortie du canon ?

B. En réalité v0 = 90 m/s. Un enfant envisage de chasser un moineau avec cette carabine. On se propose d'étudier la trajectoire du projectile.

Un moineau M est posé sur la cime d'un arbre à une hauteur h= 6,30 m. Lorsque l'enfant épaule l'extrémité C du canon se situe à H= 1,30 m du sol. L'arbre est distant de L= 15 m de l'extrémité du canon. On néglige la résistance de l'air.

  1. Pour le premier tir, suite à un mauvais réglage du système de visée, l'axe du canon est dirigé sur le moineau. Le coup part et la balle perce une feuille située en un point I au dessous du moineau M. Exprimer puis calculer MI.
  2. Le moineau est resté posé au même endroit. L'enfant règle le système de visée. On demande de trouver l'angle b que doit avoir l'axe du canon avec l'horizontale poutr que le moineau soit atteint. Calculer l'écart entre a et b et conclure. g=9,81 m/s².

corrigé
pression P1 de la masse d'air à la fin de la détente : P0Vg= P1V1g soit P1 = P0(V/V1)g

avec V1= Ls = 100*0,25 = 25 cm3 ; P1 =106 (5/25)1,4 = 1,05 105 Pa.

température de la masse d'air à la fin de la détente : P1V1= nRT1 avec n= P0V/(RT0)

T1 = P1/P0 V1/V T0 = 0,105 * 5*(273+15) = 151,2 K.

travail W fourni par la masse d'air au cours de la détente :

dW= - PdV et P = P0V0g /V g.

dW=-P0V0g dV/V g. On intègre :

W = 106 (5 10-6)1,4 / 0,4 [(25 10-6])-0,4-(5 10-6)-0,4] = -5,93 J.

Vitesse à la sortie du canon : la balle emporte ce travail sous forme d'énergie cinétique ½mv²

d'où v² = 2W/m = 2*5,93 / 10-3 = 11863 ; v = 109 m/s.


Calcul de y pour x=L=15 m ; v0 = 90 m/s ; tan a = (h-H) / L = 5/15 = 0,333 soit a = 18,43° ; cos a =0,9486 ; H= 1,30 m

y = -0,5*9,81*152 / (90*0,9486)2 +15*0,3333 +1,30 = 6,148 m soit MI= 0,152 m.

angle b : dans l'expression précédente , l'inconnue est cos b avec y= 6,30 m

y-H = 5 m ; -0,5gL²/v0² = -0,5*9,81*15²/90² =-0,136 ; 1+ tan² b = 1/cos²b

d'où : 5 = -0,1362 (1+ tan² b)+ 15 tan b ; on pose X= tan b

-5 -0,136 (1+ X²)+ 15X=0 soit -0,136X² + 15X-5,136 =0

X=0,343 soit b= tan-1 0,343 = 18,93°.

La différence entre a et b est voisine de 0,5°.





Hydraulique ( 3 pts)

On considère un grand bassin rectangulaire rempli entièrement d'eau. AD=A'D'=BC=B'C'= l =4 m ; AB=A'B'=DC=D'C'=L=8 m ; AA'=BB'=CC'=DD'=H=9 m

La paroi verticale ABB'A' est formée de deux panneaux plans superposés ( I et II). On note AA1=h1 et A1A'=h2.

  1. Calculer les hauteurs h1 et h2 nécessaires pour que chaque panneau supporte la même force de pression due à l'eau.
  2. On fait un trou de section s= 5 cm² à la jonction de ces deux panneaux. Déterminer l'expression de la vitesse de sortie de l'eau puis la calculer.
  3. Calculer le débit volumique de l'eau au niveau de cet orifice. g= 9,81 m/s² ; masse volumique de l'eau r= 103 kg m-3.

corrigé
On note p0 la pression de l'air ambiant au dessus du liquide.

pression dans le liquide à une altitude x : la surface du liquide est l'altitude x=0 ; l'axe vertical est orienté vers le bas.

pression exercée par l'air + pression due à la hauteur de la colonne liquide : p = p0+ r g x

force élémentaire pressante due à l'eau sur une surface dS =Ldx de largeur L de hauteur dx située à l'altitude x :

dF= p dS = (p0+ r g x) Ldx dirigée vers l'extérieur du liquide

panneau (I), intégrer entre 0 et h1 : L[p0x+ ½r g x2] 0h1 =Lh1[p0+ ½r g h1 ].

force pressante exercée par l'air sur cc panneau (I) : p0Lh1, dirigée vers l'intérieur du liquide

soit au total : F1=½r g L h21, perpendiculaire au panneau et dirigé vers l'extérieur du liquide.

panneau (II), intégrer entre h1 et H : L[p0x+ ½r g x2] h1H =L[p0h2 r g ( H2-h21 )].

force pressante exercée par l'air sur ce panneau (II) : p0Lh2, dirigée vers l'intérieur du liquide

soit au total : F2=½r g L ( H2-h21 ), perpendiculaire au panneau et dirigé vers l'extérieur du liquide.

F1=F2 donne : h21=H2-h21 soit 2h21=H2 ou : h1 =2H.

h1 =0,707 H = 0,707*9 =6,4 m ; h2 = 9-6,4 = 2,6 m.


appliquer le théorème de Bernoulli entre l'eau à la sortie du trou ( notée T) et la surface libre (notée A)

La vitesse est quasiment nulle en A car la surface libre est très supérieure à la section du trou ; pA=p0=105 Pa ( pression atmosphérique)

A la sortie l'eau est en contact avec l'air pT= p0=105 Pa

½rvA²+pA+rg xArvT²+pT+rg xB s'écrit : g xA=½vT²+g xB ; vT²= 2 g(xB - xA) = 2gh ( h : hauteur d'eau au dessus du trou)

vT= [2gh]½ ; si h= h1 alors vT= [2*9,8*6,4]½ = 11,2 m/s.

débit volumique correspondant ( m3/s ) = section (m²) fois vitesse (m/s) = 5 10-4*11,2 = 5,6 m3/s = 5,6 L/s.



Electricité (3 pts)

Un dispositif d'éclairage urbain comprend 6 projecteurs d'une puissance de 1150 W chacun sous une tension nominale de 230 V.
A. Alimentation en monophasé :

  1. Dessiner le schéma électrique correspondant au dispositif branché en monophasé ( en faisant figurer les six projecteurs). Placer un interrupteur simple pour commander la mise sous tension de l'ensemble
  2. Calculer l'intensité du courant qui traverse l'interrupteur si on considère que les projecteurs sont uniquement résistifs.
  3. Les projecteurs sont en fait modèlisables par un ensemble série de résistance R, d'inductance L et de facteur de puissance cosj = 0,8. Calculer la valeur de la capacité C du condensateur qu'il aura fallu placer en parallèle avec chaque projecteur pour que l'ensemble se comporte comme une résistance pure. Calculer alors l'intensité du courant dans l'ensemble projecteur- condensateur ainsi que celle du courant dans le condensateur.
  4. Si on n'avait pas mis de condensateurs, quelle aurait été l'intensité du courant dans l'interrupteur ? Quel serait le déphasage de ce courant par rapport à la tension ?

A. Alimentation en triphasé :230 - 400 V - 50 Hz

  1. Dessiner le schéma électrique pour que le montage soit équilibré.
  2. Calculer l'intensité du courant dans les fils de ligne et dans le neutre ( chaque projecteur étant équipé du condensateur précédent).
  3. L'un des projecteur grille dans la phase 1, calculer l'intensité dans les fils de ligne et le neutre.

corrigé

intensité du courant qui traverse l'interrupteur si on considère que les projecteurs sont uniquement résistifs :

I= P/U = 1150/230 = 5 A dans chaque branche dérivée

Les courants dérivés s'ajoutent : 6*5 = 30 A traversent l'interrupteur.
w= 2pf = 2*3,14*50 = 314 rad/s ;

cos j= 0,8 d'où tan j = 0,75

Lw= R tan j avec R= U/I = 230/5 = 46 W

soit Lw= 46*0,75 = 34,5 W ; L= 34,5 / 314 = 0,11 H

Z=[462+34,52]½=57,5 W

faire les produits en croix : R'( 1-LCw²)+jR'RCw = R+jLw

identifier parties réelle et imaginaire : R'( 1-LCw²)= R et L=R'RC

d'où R'= L/(RC) et C= L/( R²+(Lw)²) = 0,11 / 57,52 = 3,32 10-5 F = 33,2 mF.

R' = 0,11 / (46*3,32 10-5) = 72 W.

L'ensemble projecteur- condensateur est équivalent à une résistance pure R'.

L'intensité du courant dans l'ensemble projecteur- condensateur vaut : 230 / 72 = 3,2 A soit 6*3,2 = 19,2 A.

Intensité du courant dans le condensateur : I2 =  I tanj = 3,2 *0,75 = 2,4 A.

Si on n'avait pas mis de condensateurs, l'intensité du courant dans l'interrupteur serait :

impédance de la bobine : Z=[46²+34,5²)½=57,5 W ; I= U/Z = 230 / 57,5 = 4 A dans chaque projecteur ; soit 4*6 = 24 A dans l'interrupteur.

déphasage de ce courant par rapport à la tension : tan j = 34,5/ 46 = 0,75 ; j = 0,64 rad

courant en retard sur la tension de -0,64 rad.


Dans le montage étoile, la tension aux bornes de chaque système projecteur- condensateur vaut 230 V.

intensité du courant dans les fils de ligne et dans le neutre :

Deux ensembles projecteur-condensateur en dérivation sont équivalents à un dipôle d'impédance ½R' = 36 W d'où l'intensité en ligne : I=230/36 = 6,39 A.

Dans le fil neutre, l'intensité est nulle, le système étant équilibré.

L'un des projecteur grille dans la phase 1, l'intensité dans les fils de ligne et le neutre vaut :

dans la phase 2 et dans la phase 3 : I= 6,39 A

dans la phase 1, l'impédance double donc l'intensité est divisée par 2 : I1 =3,2 A

Le montage est déséquilibré : dans le neutre l'intensité vaut : 3,2 A.



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