Aurélie 10/04/06

Oscillateur élastique sur un plan incliné

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ressort + bille d'après concours kiné Berck 2006

Un ressort de constante de raideur k, de masse négligeable et de longueur à vide l0 est fixé par l'une de ses extrémités à une butée fixe. Il peut osciller sans frottement suivant la ligne de plus grande pente d'un plan incliné d'un angle a par rapport à l'horizontale. On relie l'extrrémité libre du ressort à une petite bille de masse m. On considérera cette bille comme ponctuelle. A l'équilibre, le ressort est comprimé de 1,0 cm par rapport à sa longueur à vide et la bille se trouve en A.

m= 200 g ; a= 20° ; yB= 14 cm ; AB= 20 cm.

  1. Déterminer la constante de raideur k du ressort.( en N/m).
    On comprime le ressort de 8,0 cm vers le bas depuis la position d'équilibre puis on lâche le système {bille ressort} sans vitesse initiale.
  2. Calculer la vitesse vA( en m/s) de la bille en A.
    On néglige les frottements entre A et B. La bille quitte le ressort en A avec la vitesse vA.
  3. Calculer la vitesse vB( en m/s) de la bille en B.
    La bille quitte le plan incliné en B avec la vitesse vB. On néglige l'action de l'air sur la bille. Le mouvement est étudié dans le repère Oij. La bille touche le sol en P.
  4. Déterminer OP en cm.
  5. Déterminer la durée en seconde mise par la bille pour aller de A en P.



corrigé

A l'équilibre T=kx=mgsina d'où k= mgsina / x = 0,2*9,8 sin20 / 0,01 = 67 N/m.

vitesse vA( en m/s) de la bille en A.

origine des énergies potentielles : le point A ( position d'équilibre). Ecrire la conservation de l'énergie mécanique.

Au point le plus bas ( ressort comprimé de 8 cm suplémentaires, soit 9 cm en tout) l'énergie est sous forme potentielle élastique et de pesanteur

0,5*67*0,09²-0,2*9,8*0,08 sin 20 = 0,218 J

En A, l'énergie est sous forme cinétique : ½mv²A

0,218 =½mv²A soit v²A=0,218*2/0,2 = 2,18; vA= 1,5 m/s. ( 1,476 m/s)

vitesse vB( en m/s) de la bille en B :

entre A et B seul le poids effectue un travail résistant ( l'action du plan, perpendiculaire au plan ne travaille pas)

travail du poids : mg(yA-yB) = -mgAB sina = -0,2*9,8*0,2 sin 20 = -0,134 J

théorème de l'énergie cinétique entre A et B : ½mv²B-½mv²A= -mgAB sina

B=v²A - 2gAB sina = 2,18 -2*9,8*0,2*sin 20 = 0,84 ; vB= 0,92 m/s.

calcul de OP en cm : chute libre avec vitesse initiale

en P l'altitude est nulle : 0 = -4,9 x²/(0,92²*cos²20) + x tan20 + 0,14

-6,56 x² + 0,364 x+0,14 = 0 d'où x = 0,176 m ( 18 cm)

durée en seconde mise par la bille pour aller de A en P :

trajet BP : OP=vBcosa t soit t =OP/(vBcosa)=0,176/(0,92*cos20)= 0,20 s.

trajet AB : mouvement rectiligne uniformément retardé d'accélération a telle qie : v²B-v²A=2a AB soit a = (0,92²-1,5²) / 0,4 = -4,61 m/s.

vitesse primitive de l'accélération : v= -at + vA = -4,61 t + 1,5 soit t =( vB -vA)/a=(1,5-0,92)/4,61 = 0,13 s

total : 0,20+0,13 = 0,33 s.



Question complémentaire :

On comprime le ressort de 8,0 cm vers le bas depuis la position d'équilibre puis on lâche le système {bille ressort} sans vitesse initiale. Etablir l'expression de l'énergie mécanique du système {bille + ressort+ Terre} pour une position quelconque de la bille en contact avec le ressort ; en déduire l'équation différentielle du mouvement puis l'abscisse x(t) du centre d'inertie de la bille.


corrigé
expression de l'énergie mécanique du système {bille + ressort+ Terre} :

origine des énergies potentielles : le point A ( position d'équilibre). Ecrire la conservation de l'énergie mécanique.

Axe choisi : origine A, axe parallèle au plan, orienté vers le haut ; l'abscisse x(t) = x, du centre d'inertie de la bille est donc négative.

énergie cinétique : Ec = ½mv² = ½mx'²

énergie potentielle de pesanteur : Epp = mgh = mg x sin a.

énergie potentielle élastique : Ep élast = ½k( l-l0)² = ½k( léqui-x-l0

énergie mécanique du système {bille + ressort + Terre} : Em= ½mx'² + mg x sin a + ½k( léqui-x-l0= constante.


équation différentielle du mouvement :

Dériver par rapport au temps l'expression de l'énergie mécanique :

mx' x" + mg x' sin a + k( léqui-x-l0)(-x') = 0

simplifier par x' : m x" + mg sin a - k( léqui-x-l0) = 0

or mg sin a = k( léqui-l0) d'où : m x" +kx=0.

c'est l'équation différentielle d'un oscillateurharmonique de pulsation w0 = (k/m)½.


abscisse x(t) du centre d'inertie de la bille :

solution de l'équation différentielle : x(t) = A cos (w0t + B)

A et B sont déterminées par les conditions initiales ( vitesse initiale nulle et x(0) = -0,0 8 m

-0,08 = A cos B d'où B= pet A= 0,08 m

x(t) = 0,08 cos cos (w0t + p )


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