Aurélie 03/04/06

Ressorts, oscillateurs mécaniques , projection d'une bille

d'après concours kiné Assas 2006, kiné Berck

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Ressorts.

Les frottements seront négligés. Longueur à vide du ressort R1 : l0 = 10 cm ; raideur k1=k = 10 N/m ; la masse des ressorts est négligeable. g = 10 m/s²

Partie A : ( figure 1) m = 40 g

  1. Shématiser les forces appliquées à la masse m.
  2. Calculer la déformation Dl=l-l0 et la longueur du ressort à l'équilibre.

Partie B : ( figure 2) Longueur à vide du ressort R2 : l0 = 10 cm ; raideur k2=3k = 30 N/m ; la masse m coulisse le long de la tige O1O2= 2L= 30 cm.

Soient Dl10 et Dl20 les allongements des ressorts R1 et R2 à l'équilibre.

  1. Shématiser les forces appliquées à la masse m et représenter Dl10 et Dl20 .
    - Quelle relation existe-t-il entre l0, Dl10 , Dl20 et L ?
    - Ecrire la condition d'équilibre ; donner les espressions de Dl10 et Dl20. Calculer Dl10 et Dl20.
  2. On écarte la masse m de a= 2,0 m vers la droite et on la lâche sans vitesse initiale. On repère la masse m par la position x de son centre d'inertie sur un axe orienté vers la droite. L'origine O de l'axe correspond avec la position d'équilibre.
    - Exprimer à l'instant t les allongements Dl1 et Dl2 des ressorts en fonction de x, Dl10 et Dl20.
    - Déterminer l'équation différentielle de la masse.
    - Montrer que la solution de cette équation est du type x(t) = A cos( 2p/T0 t+F). Déterminer les expressions litérales et numériques de A, T0 et F.

corrigé

La masse m est soumise à son poids, vertical, vers le bas, valeur P= mg et à la tension du ressort, verticale, vers le haut, valeur T= k |Dl|

A l'équilibre le poids et la tension du ressort se compensent. Ces deux forces opposées ont la même valeur

mg = k(l-l0) = k |Dl| ; |Dl| = mg /k = 0,04*10 / 10 = 0,04 m = 4 cm. Dl = -0,04 m.

Dl = l-l0 d'où l = Dl +l0 = -0,04 +0,1 = 0,06 m.


action de la tige et poids se neutralisent.

T1 = k1 Dl10 = k Dl10 ; T2 = k2 Dl20 = 3 kDl20 .

A l'équilibre, ces deux forces ont la même valeur, d'où : Dl10 = 3Dl20 .

de plus 2L= 2 l0 + Dl10+ Dl20 ; L= l0 +2 Dl20 ; Dl20 =½(L-l0) = 0,5(15-10)=2,5 cm = 0,025 m ; Dl10 =0,075 m.

allongements Dl1 et Dl2 des ressorts : Dl1 = Dl10 +x ; Dl2 =Dl20 -x

Ecrire la seconde loi de Newton projetée sur l'axe Ox avec : T1 = -kDl1 ; T2 = 3kDl2 .

-k(Dl10 +x ) + 3k(Dl20 -x)= mx" (dérivée seconde de x par rapport au temps)

-kDl10-kx + 3kDl20-3kx= mx" ;

or kDl10=3kDl20 d'où -4kx = mx" soit x"+4k/m x=0.

en posant w0²= 4k/m =40/0,04 = 1000 ; w0 =31,6 rad/s, l'équation différentielle s'écrit : x"+w0²x=0 (1)

périodeT0 = 2p/w0 = 6,28 / 31,6 = 0,2 s.

les solution de cette équation sont du type x(t) = A cos( 2p/T0 t+F).

dériver deux fois par rapport au temps : x" = -( 2p/T0 )2 A cos( 2p/T0 t+F)= - w0²x

repport dans (1) : - w0²x + w0²x=0 quel que soit le temps, donc x(t) = A cos( 2p/T0 t+F) est bien solution de (1)

On détermine A et F par les conditions initiales :

à t=0, x(0) = a = 0,02 m d'où 0,02 = A cos F ; d'où A=0,02 m et F =0 ( amplitude)





ressort + bille

Un ressort de constante de raideur k, de masse négligeable et de longueur à vide l0 est fixé par l'une de ses extrémités à une butée fixe. Il peut osciller sans frottement suivant la ligne de plus grande pente d'un plan incliné d'un angle a par rapport à l'horizontale. On relie l'extrrémité libre du ressort à une petite bille de masse m. On considérera cette bille comme ponctuelle. A l'équilibre, le ressort est comprimé de 1,0 cm par rapport à sa longueur à vide et la bille se trouve en A.

m= 200 g ; a= 20° ; yB= 14 cm ; AB= 20 cm.

  1. Déterminer la constante de raideur k du ressort.( en N/m).
    On comprime le ressort de 8,0 cm vers le bas depuis la position d'équilibre puis on lâche le système {bille ressort} sans vitesse initiale.
  2. Calculer la vitesse vA( en m/s) de la bille en A.
    On néglige les frottements entre A et B. La bille quitte le ressort en A avec la vitesse vA.
  3. Calculer la vitesse vB( en m/s) de la bille en B.
    La bille quitte le plan incliné en B avec la vitesse vB. On néglige l'action de l'air sur la bille. Le mouvement est étudié dans le repère Oij. La bille touche le sol en P.
  4. Déterminer OP en cm.
  5. Déterminer la durée en seconde mise par la bille pour aller de A en P.

corrigé

A l'équilibre T=kx=mgsina d'où k= mgsina / x = 0,2*9,8 sin20 / 0,01 = 67 N/m.

vitesse vA( en m/s) de la bille en A.

origine des énergies potentielles : le point A . Ecrire la conservation de l'énergie mécanique.

Au point le plus bas ( ressort comprimé de 8 cm suplémentaires) l'énergie est sous forme potentielle élastique et de pesanteur

0,5*67*0,08²-0,2*9,8*0,08 sin 20 = 0,16 J

En A, l'énergie est sous forme cinétique : ½mv²A

0,16 =½mv²A soit v²A=0,16*2/0,2 = 1,6; vA= 1,3 m/s.

vitesse vB( en m/s) de la bille en B :

entre A et B seul le poids effectue un travail résistant ( l'action du plan, perpendiculaire au plan ne travaille pas)

travail du poids : mg(yA-yB) = -mgAB sina = -0,2*9,8*0,2 sin 20 = -0,134 J

théorème de l'énergie cinétique entre A et B : ½mv²B-½mv²A= -mgAB sina

B=v²A - 2gAB sina = 1,6 -2*9,8*0,2*sin 20 = 0,27 ; vB= 0,52 m/s.

calcul de OP en cm : chute libre avec vitesse initiale

en P l'altitude est nulle : 0 = -4,9 x²/(0,52²*cos²20) + x tan20 + 0,14

-20,5 x² + 0,364 x+0,14 = 0 d'où x = 0,092 m ( 9,2 cm)

durée en seconde mise par la bille pour aller de A en P :

trajet BP : OP=vBcosa t soit t =OP/(vBcosa)=0,092/(0,52*cos20)= 0,19 s.

trajet AB : mouvement rectiligne uniformément retardé d'accélération a telle qie : v²B-v²A=2a AB soit a = (0,52²-1,3²) / 0,4 = -3,35 m/s.

vitesse primitive de l'accélération : v= -at + vA = -3,35 t + 1,46 soit t =( vB -vA)/a=(1,46-0,9)/3,35 = 0,17 s

total : 0,19+0,17 = 0,36 s.



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