Aurélie 15/11/06

Le moteur de Stirling ; chimie : acide chlorhydrique ; acoustique : durée de réverbération.

d'après bts domotique 2006

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Le moteur de Stirling ( 8,5 points )

Le moteur de Stirling fait aujourd'hui l'objet de nombreux programmes de recherche développement aux États-Unis, au Japon et en Europe du Nord, où il y a déjà quelques opérations de démonstration en vraie grandeur, notamment en Allemagne et aux Pays-Bas. Le moteur de Stirling présente des avantages significatifs par rapport à un moteur à explosion, Diesel ou essence :

· peu de maintenance et une longue durée de vie ;

· moteur peu bruyant ;

· la combustion extérieure et continue, à basse pression, peut être parfaitement contrôlée pour émettre peu de gaz polluants (3 à 4 ppm d’oxydes d’azote) ;

· enfin, dans les installations de cogénération, la quasi-totalité de la chaleur non dépensée peut être récupérée et exploitée, ce qui conduit à un rendement global potentiel très élevé, de l'ordre de 95 %.

Les températures notées T sont des températures absolues, en K.

Généralités sur les moteurs

Un moteur est un système fermé échangeant un travail W avec l’extérieur, une chaleur QF avec une source froide (température TF) et une chaleur QC avec une source chaude (température TC).

  1. Indiquer les signes des quantités W, QF et QC, en justifiant la réponse.
  2. Donner la définition du rendement (ou coefficient de performance) d’un moteur.
  3. On rappelle qu’un cycle de Carnot est constitué de deux transformations réversibles isothermes et de deux transformations réversibles adiabatiques. Rappeler l’expression du rendement d’un cycle de Carnot en fonction de TF et TC.
    - Existe-t-il, a priori, un moteur de plus grande performance, à TF et TC données ?
  4. Étude théorique du moteur de Stirling
    Le moteur de Stirling est modélisé ainsi : moteur ditherme à combustion externe dans lequel un gaz parfait est soumis à un cycle à quatre transformations :
    · 1->2 compression isotherme où le gaz échange de la chaleur avec la source froide, température Tf.
    . 2->3 transformation isochore
    · 3->4 détente isotherme où le gaz échange de la chaleur avec la source chaude, température Tc.
    · 4->1 transformation isochore
    On notera Pi, Vi, Ti les variables d’état relatives aux états (i).
    Ce moteur est utilisé pour une installation individuelle de cogénération. Il est placé au sommet d'une parabole : la source chaude est maintenue à Tc=770 K par concentration du rayonnement solaire. Le travail obtenu est transformé en électricité par un alternateur, et la chaleur restante sert au chauffage de la maison.


    état 1
    état 2
    état 3
    état 4
    P( Pa)
    1,0 105
    5,0 105
    14,3 105
    2,9 105
    V(m3)
    1,0 10-3
    2,0 10-4
    2,0 10-4
    1,0 10-3
    T(K)
    Tf=270
    Tf=270
    Tc=770
    Tc=770
    - Donner l'allure du cycle de transformations relatif à ce moteur en coordonnées de Clapeyron (P, V), on précisera le sens de parcours de ce cycle.
    - Calculer n, le nombre de moles de gaz parfait mis en jeu.
    - Donner l'expression du travail élémentaire dW reçu par le gaz parfait à la pression P, quand son volume subit une variation élémentaire dV. En déduire que lors de la transformation 1-->2, le travail reçu par la quantité n de gaz parfait s'écrit : W12=nRTfln(V1/V2) = nRTfln(P2/P1)
    - Calculer les travaux W12, W23, W34, W43 échangés au cours des différentes transformations du gaz, ainsi que le travail total échangé au cours du cycle.
    On rappelle que l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de la température ; en déduire les variations d'énergie interne DU12 et DU34 ainsi que les quantités de chaleur Q12 et Q34.
    - Calculer le rendement h du moteur et le comparer au rendement d'une machine de Carnot fonctionnant entre deux source de chaleur aux même températures que ce moteur. Ce moteur a t-il un rendement intèressant ? Pourquoi ?
    - Sachant que le cycle est répété 500 fois par minute, calculer la puissance mécanique fournie par le moteur à l'alternateur et la puissance thermique fournie au système de chauffage de la maison.
 


corrigé


travail cédé à l'extérieur, négatif par définition

Qc recu par le système, positif par définition

Qf cédée par le système, négatif par définition

rendement : travail mis en jeu / Chaleur cédée par la source chaude

rendement Carnot : (Tc-Tf)/Tc.

Il n'existe pas, à priori, un moteur de plus grande performance, à TF et TC données : dans le cycle de Carnot, toutes les transformations sont réversibles et le rendement est maximum.

allure du cycle de transformations relatif à ce moteur en coordonnées de Clapeyron (P, V),

nombre de moles de gaz parfait mis en jeu : avec les données de l'état 1 par exemple

n= PV/RT = 105*10-3 / (8,31*270)= 4,46 10-2 mol.
Expression du travail élémentaire dW reçu par le gaz parfait à la pression P, quand son volume subit une variation élémentaire dV : dW= -PdV

Lors de la transformation 1-->2, le travail W12 reçu par la quantité n de gaz parfait s'écrit :

P= nRT/ V d'où : dW= -nRT/ VdV = -nRTf d ln V à Tf = constante.

puis intégrer entre V1 et V2 d'où W12=nRTfln(V1/V2)

de plus à température constante V1/V2= P2/P1 d'où : W12=nRTfln(V1/V2) = nRTfln(P2/P1)


Travaux W12, W23, W34, W43 échangés au cours des différentes transformations du gaz, ainsi que le travail total échangé au cours du cycle :

W12 = 4,46 10-2 *8,31*270 ln (10-3 / 2 10-4) = 161 J.

W23=0 ( isochore) ; W41 = 0 ( isochore)

W34= nRTc ln( V3/V4) = 4,46 10-2 *8,31*770 ln (2 10-4/10-3 ) = -460 J.

W= -460+161 = -299 J.
On rappelle que l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de la température ;

variations d'énergie interne : DU12 = DU34 = 0 ( isothermes)

quantités de chaleur Q12 et Q34 :

en conséquence W34+Q34=0 soit Q34 = - W34 = 460 J ; W12+Q12=0 soit Q12 = - W12 = -161 J
Calcul du rendement h du moteur :

rendement =| (W12+W34)/ Q34 |= | (W12+W34)/ (-W34 ) |=| -W12/W34-1|

W12 / W34= -Tf / Tc

d'où le rendement : |Tf / Tc -1| = |270 / 770-1 |= 0,65.

rendement intèressant car identique au rendement d'une machine de Carnot fonctionnant entre deux source de chaleur aux même températures que ce moteur.


Le cycle est répété 500 fois par minute, la puissance mécanique fournie par le moteur à l'alternateur vaut :

travail total sur un cycle : 299 J

sur 500 cycles : 299*500 = 1,5 105 J

puissance 1,5 105 /60 = 2,5 kW.

puissance thermique fournie au système de chauffage de la maison : 161*500/60 = 1,3 kW.





Acoustique (5,5 points)

Un moteur est situé dans un local de surface au sol 2*2,5 m² et de hauteur 2,5 m. Toutes les parois de ce local sont en béton ( coefficient d'absorption a1 = 0,02)

On mesure , quand ce moteur fonctionne, le niveau d'intensité acoustique Lp à l'aide d'un sonomètre équipé d'un analyseur de filtres d'octaves de fréquences centrales f0.
f0( Hz)
125
250
500
1000
2000
4000
Lp ( dB)
36
50
52
52
60
61

  1. Calculer le niveau de pression acoustique total noté L1.
  2. Calculer la durée de réverbération notée T1.
    On traite par flocage, le plafond de ce local, le coefficient d'absorption moyen de ce flocage étant a2 = 0,8.
  3. Calculer la durée de réverbération notée T2.
  4. Calculer la nouvelle valeur du niveau de pression acoustique total noté L2.

Formule de Sabine pour la durée dr réverbération d'un local : T= a(V/A) avec a = 0,16 s m-1 ; V : volume du local ; A : aire absorbante équivalente.

Variation DL du niveau acoustique résultant d'une variation de la durée de réverbération DL= 10 log (T2/T1)


corrigé
niveau de pression acoustique total noté L1 :

pour chaque intervalle, calcul du niveau d'intensité acoustique I= I0 100,1 L = 10-12 * 100,1 L :

f0( Hz)
125
250
500
1000
2000
4000
Lp ( dB)
36
50
52
52
60
61
I (W m-2)
3,98 10-9
10-7
1,58 10-7
1,58 10-7
10-6
1,26 10-6
intensité acoustique totale : Itotal =3,98 10-9 +10-7 +1,58 10-7+1,58 10-7+10-6+1,26 10-6 =2,68 10-6 W m-2)

L1 = 10 log (Itotal / I0 ) = 10 log (2,68 10-6 / 10-12) = 64,3 dB.


durée de réverbération notée T1 : temps mis par un bruit pour décroître de 60 dB apprès coupure de la source

Formule de Sabine pour la durée dr réverbération d'un local : T= a(V/A) avec a = 0,16 s m-1 ; V : volume du local ; A : aire absorbante équivalente.

A= aire totale du local *coefficient d'absorption a1 du béton

aire du local = aire sol + aire plafond + aire des murs = 5 +5 + 9*2,5 =32,5 m²

A= 32,5a1 = 32,5*0,02 =0,65 m²

volume du local : V= 5*2,5 = 12,5 m3.

T1 = 0,16 *12,5/0,65 =3,1 s.


On traite par flocage, le plafond de ce local, le coefficient d'absorption moyen de ce flocage étant a2 = 0,8.

durée de réverbération notée T2 :

A= aire absorbante équivalente = aire du plafond a2 + aire des murs a1

A = 5*0,8 + 27,5*0,02 =4,55 m².

T2 = 0,16 *12,5/4,55 =0,44 s.

nouvelle valeur du niveau de pression acoustique total noté L2:

Variation DL du niveau acoustique résultant d'une variation de la durée de réverbération DL= 10 log (T2/T1)

DL= 10 log (0,44/3,1) = -8,5 dB ; L2 = 64,3-8,5 = 55,8 dB.



Chimie (6 points)

On souhaite dissoudre le calcaire ou carbonate de calcium CaCO3 existant dans une canalisation. Pour cela on utilise l'acide chlorhydrique du commerce.

L'équation de la réaction est : Ca2+ + CO32- + 2(H+ + Cl-) = CO2 + H2O+ Ca2+ +2Cl-

  1. Quelle masse de carbonate de calcium peut-on dissoudre avec 1L de solution d'acide chlorhydrique de concentration C= 11 mol/L ?
    Dilution de la solution commerciale d'acide :
    On veut vérifier la valeur de l'indication portée par l'étiquette. Pour cela on prépare une solution diluée.
    On prélève un volume v1 = 5,0 mL de la solution commerciale que l'on dilue jusqu'à un volume v2 = 500 mL avec de l'eau distillée.
  2. On évalue le pH de la solution diluée en utilisant du papier pH. On trouve pH voisin de1. En déduire une valeur approchée de la concentration c de la solution diluée et de la concentration C de la solution commerciale.
    On prélève un volume va= 10 mL de la solution diluée d'acide chlorhydrique. On y ajoute quelques gouttes de bleu de bromothymol.
  3. Préciser le rôle de cet indicateur.
    La solution titrante est une solution d'hydroxyde de sodium de concentration cb=0,10 mol/L.
  4. Sachant que le volume de solution titrante nécessaire pour atteindre l'équivalence est 10,8 mL, déterminer la concentration c de la solution diluée et de la concentration C de la solution commerciale. Que pensez vous de l'indication portée par l'étiquette ?
  5. Indiquer sur un axe selon le pouvoir oxydant croissant, les couples oxydoréducteurs dont les potentiels normaux sont indiqués ci-dessous.
  6. Pourquoi est-il possible d'utiliser l'acide chlorhydrique pour détartrer une canalisation de cuivre ? Pourrait-on faire de même avec une canalisation en plomb? en fonte ? Justifier.

Ca : 40 ; C : 12 ; O : 16 g/mol

H3O+/H2 : V ; Fe2+/Fe : -0,44 V ; Cu2+/Cu : 0,34 V ; Pb2+/Pb : -0,13 V.


corrigé
masse de carbonate de calcium dissoute avec 1L de solution d'acide chlorhydrique de concentration C= 11 mol/L :

quantité de matière d'acide (mol) = volume (L) * concentration (mol/L) =1*11 = 11 mol

Ca2+ + CO32- + 2(H+ + Cl-) = CO2 + H2O+ Ca2+ +2Cl-

D'après les coefficients de l'équation, la quantité de matière de carbonate de calcium est égale à la moitié de la quantité de matière d'acide soit 5,5 mol.

Masse molaire CaCO3 : M= 40 +12+3*16 = 100 g/mol

masse (g) = masse molaire (g/mol) * quantité de matière (mol) = 100 *5,5 = 550 g.


On prélève un volume v1 = 5,0 mL de la solution commerciale que l'on dilue jusqu'à un volume v2 = 500 mL avec de l'eau distillée.

Le facteur de dilution est égal à : F= 500/5 = 100 ; la solution diluée est 100 fois moins concentrée que la solution commerciale.

pH = 1= - logc d'où c = 0,1 mol/L et C= 100*0,1 = 10 mol/L.


On prélève un volume va= 10 mL de la solution diluée d'acide chlorhydrique. On y ajoute quelques gouttes de bleu de bromothymol.

L'indicateur coloré change de couleur à l'équivalence ( passage du jaune au bleu). L'indicateur coloré permet de repèrer l'équivalence.

La solution titrante est une solution d'hydroxyde de sodium de concentration cb=0,10 mol/L.

Le volume de solution titrante nécessaire pour atteindre l'équivalence est 10,8 mL :

à l'équivalence caVa = cbVb soit ca= cbVb / Va =0,1*10,8/10 = 0,108 mol/L et C= 100*0,108 = 10,8 mol/L

L'indication portée par l'étiquette est correcte ( écart relatif =(11-10,8)/10,8 *100 = 2 % )


pouvoir oxydant croissant, les couples oxydoréducteurs :

Il est possible d'utiliser l'acide chlorhydrique pour détartrer une canalisation de cuivre (H3O+ n'attaque pas le cuivre) ;

par contre le plomb et le fer ( fonte) sont des métaux plus réducteurs que H3O+ : en conséquence le plomb et le fer sont attaqués par H3O+ ; le détartrage par l'acide chlorhydrique n'est pas possible dans ce cas.



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