Aurélie déc 04

énergie mécanique - énergie interne

théorème de l'énergie cinétique

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Questionnaire à choix multiple

Illustrer chaque choix (coché vrai ou faux) par un exemple :

  1. Un système dont l'énergie mécanique est constante
    - Ne peut pas être en mouvement
    - Peut être soumis à une force
    - Peut être soumis à des frottements
  2. Un système qui reçoit de l'énergie
    - S'échauffe toujours
    - Peut la restituer sous une autre forme¨
    - Peut la garder
  3. La chaleur échangée
    - Se mesure à l'aide d'un thermomètre
    - Ne peut pas être transférée sans contact
    - Peut s'exprimer en kW.h

corrigé
Un système dont l'énergie mécanique est constante :
- Ne peut pas être en mouvement : faux ; exemple : la chute libre
- Peut être soumis à une force : vrai ; exemple : tir d'un projectile ( vitesse restant faible), chute libre
- Peut être soumis à des frottements : faux : exemple : chute réelle ( frottement fluide), l'énergie mécanique diminue
Un système qui reçoit de l'énergie
- S'échauffe toujours: faux ; exemple : un changement d'état physique d'un corps pur s'effectue à température constante
- Peut la restituer sous une autre forme : vrai ; machine thermique
- Peut la garder : vrai ; exemple : excitation d'un atome par un photon ( l'atome peut rester excité pendant quelques dixiemes de seconde)
La chaleur échangée
- Se mesure à l'aide d'un thermomètre : faux ; un thermomètre repère une température
- Ne peut pas être transférée sans contact : faux ; exemple : énergie rayonnée par le soleil
- Peut s'exprimer en kW.h : vrai ; 1 kWh = 3600 kJ = 3,6 106 J.





Le saut à la perche

Ce saut est apparu pour la première fois en Grèce Antique. Les Crétois utilisaient cette technique pour sauter au-dessus des taureaux. Plus tard, les Celtes ont pratiqué cette discipline pour effectuer des sauts… en longueur. Ce n'est que vers la fin du XVIIIe siècle, en Allemagne, que le saut à la perche se mua en concours vertical dans le cadre de compétitions de gymnastique. A partir de 1850, les concours de saut à la perche fleurissent. L'évolution de la discipline passera par le développement du matériel de saut. Durant près d'un demi-siècle, à partir de 1900, la perche en bambou connaît ses jours de gloire, puis l'acier ou le cuivre apparaissent dans les années 50, auquel succède l'aluminium, introduit en 1957 qui porta le record du monde à 4,73 mètres. La décennie suivante voit l'apparition du matériau qui va révolutionner le saut à la perche : la fibre de verre. Les principes de base du saut à la perche répondent à une équation mathématique entre la vitesse de la course d'élan et la flexion de la perche qui emmagasine de l'énergie restituée lors du catapultage. La prise d'élan du sauteur doit obligatoirement dépasser 40 mètres. A l'issue d'une course d'accélération progressive, l'athlète présente sa perche dans le butoir qui va lui permettre de faire levier. Le franchissement de la barre fait appel à des qualités de souplesse et de coordination du corps de l'athlète. Sergey Bubka est le premier perchiste à franchir 6 mètres, puis 6,10 mètres. Il est l'actuel détenteur du record du monde avec 6,14mètres.

  1. Sous quelle forme l'énergie du système {perchiste-perche} se trouve-t-elle à la fin de la course, juste avant que l'extrémité inférieure de la perche soit plantée ?
  2. Commentez, en vous appuyant sur le texte, l'évolution de l'énergie interne de la perche au cours de l'ascension.
  3. Établir un diagramme énergétique pour le système {perchiste-perche} au cours de l'ascension. On fera apparaître sur ce diagramme les 3 formes d'énergie. Commenter ce diagramme précisant l'évolution des différents types d'énergies du système au cours de l'ascension.
  4. On souhaite prévoir le record d'altitude en saut à la perche par un modèle de physique très simple : pour cela, on pose plusieurs hypothèses simplificatrices :
    - hypothèse 1 : le système est assimilé à un point matériel situé en son centre d'inertie de masse M = 85 kg
    - hypothèse 2 : la phase d'ascension s'effectue à énergie mécanique constante
    - hypothèse 3 : la vitesse du système à l'altitude maximale est nulle.
    Avec ces hypothèses idéales calculer la variation d'altitude maximale que pourrait atteindre le centre d'inertie d'un athlète à la perche abordant la phase de saut avec une vitesse v = 10 m/s. Montrer le record de Bubka est proche de cette limite.
    - Comment pourrait-il encore améliorer la performance ?

corrigé
A la fin de la course, l'énergie du système {perchiste-perche} se trouve sous forme cinétique ( si on prend comme origine de l'énergie potentielle de pesanteur, l'altitude du centre d'inertie du sauteur lors de la course).

L'évolution de l'énergie interne ( énergie potentielle élastique) de la perche au cours de l'ascension : "la flexion de la perche qui emmagasine de l'énergie restituée lors du catapultage ".

(1) perche non déformée : l'énergie interne de la perche est nulle.

(2) perche fléchie : l'énergie interne de la perche augmente.

(3) la perche fléchie reprend sa position non déformée : l'énergie interne de la perche diminue et le sauteur est catapulté.


Pour le système {perchiste-perche} au cours de l'ascension l'énergie totale se conserve.

dessin (1), course d'élan, l'énergie se trouve sous forme d'énergie cinétique.

dessin (2) : l'énergie cinétique diminue ; l'énergie potentielle de pesanteur augmente ; l'énergie potentielle élastique de la perche augmente puis diminue lors du catapultage.

dessin (3) : l'énergie cinétique est nulle ; l'énergie potentielle élastique de la perche non fléchie est nulle ; l'énergie se trouve sous forme potentielle de pesanteur.


Origine des altitudes : altitude du centre d'inertie du sauteur lors de la course d'élan.

E= énergie initiale = énergie cinétique = ½mv0²

au cours de l'ascension, l'énergie mécanique reste constante : E= ½mv²+mgh = ½mv0²

passage au dessus de la perche à vitesse nulle : E= mghmax.

conservation de l'énergie mécanique : mghmax = ½mv0² ; hmax = v0²/(2g) = 10²/(2*9,8)= 5,10 m

soit par rapport au sol : 5,10 + altitude initiale du centre d'inertie de l'atlète par rapport au sol ( environ 1 m)

Pour augmenter l'altitude maximale, avec les hypothèses simplificatrices, la vitesse en fin de course doit être la plus grande possible.


On se propose d'étudier l'évolution d'un mobile (M) de masse m= 500 g au cours du parcours proposé ci-dessous. Au départ le mobile se trouve en A. Il est laché sans vitesse initiale. Les forces de frottement sur l'arc de cercle AB, de rayon R=80 cm, sont considérées comme constantes, opposées à la vitesse et représentent r=25% du poids du mobile. g =9,8 m/s² ; q=45°

  1. Représenter les forces s'exerçant sur M au cours du trajet AB.
  2. Calculer la vitesse du mobile en B.
  3. Le mobile doit maintenant parcourir la longueur L= 10 cm du tremplin compris entre les points B et C, incliné d'un angle a=10° par rapport à l'horizontale. On néglige les forces de frottement sur cette portion BC. Quelles sont les caractéristiques du vecteur vitesse du mobile M au point C ? Donner l'expression de la vitesse VC en fonction de g, R, r, q, a et L.
  4. Le mobile partant de C arrive dans un petit panier repéré par le point D. Quelle doit être la position du point D dans le repère (C, x, y) pour que le mobile arrive en D avec le minimum d'énergie cinétique ?
    - Le transfert d'énergie cinétique est supposé total. Le panier suspendu par unfil de longueur L'= 2 m se met à osciller. On considère que l'ensemble fil - panier - mobile constitue un pendule simple de masse m=500 g. Les forces de frottements sont négligées. Déterminer l'angle
    b d'écartement maximum du pendule simple par rapport à la verticale en fonction de VC, a, g et L'. Calculer la période propre T0 du pendule simple.

corrigé
Vitesse du mobile en B :

q =0,785 rad ian

f = r mg

DEc= ½ mVB², la vitesse initiale en A étant nulle

La variation d'énergie cinétique entre A et B est égale à la somme des travaux des forces :

½ mVB² = mgR(1-cosq) -f R q = mgR(1-cosq) -r mg R q

VB² = 2 gR(1-cosq-r q).

VB² = 2*9,8*0,8 ( 1-cos45-0,25*0,785) = 1,517 ; VB= 1,23 m/s.


La vitesse VC en fonction de g, R, r, q, a et L :

Le vecteur vitesse étant toujours tangent à la trajectoire, est parallèle au plan incliné et dirigé vers le haut du plan

ordonnée : VCy= VC sin a ; abscisse : VCx= VC cos a ;

La variation d'énergie cinétique entre B et C est égale à la somme des travaux des forces ;

seul le poids travaille car l'action du plan est perpendiculaire au plan

travail résistant du poids ( ça monte) entre B et C : -mg L sin a.

½mVC²-½mVB²= -mg L sin a ; VC² = VB² -2g L sin a.

remplacer VB² par : VB² = 2 gR(1-cosq-r q).

VC² = 2 gR(1-cosq-r q)-2g L sin a.


Position du point D dans le repère (C, x, y) pour que le mobile arrive en D avec le minimum d'énergie cinétique :

l'énergie cinétique est minimum si la vitesse est minimum : au sommet de la trajectoire parabolique, l'ordonnée de la vitesse est nulle et l'abscisse de la vitesse vaut VC cos a. La vitesse prend alors sa plus petite valeur.

Energie cinétique minimum : ½mVC² cos² a.

angle b d'écartement maximum du pendule simple :

L'énergie cinétique finale en E est nulle pour l'angle b. DEc= -Ec initiale en C=- ½mVC²cos² a

seul le poids travaille entre D et E ; la tension du fil , perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas.

travail du poids résistant ( ça monte) : -mgL'(1-cosb)

th. de l'énergie cinétique : - ½mVC²cos² a = -mgL'(1-cosb) ; VC² cos² a = 2gL'(1-cosb) ;
(1-cos
b) = VC² cos² a /( 2gL') ; cosb = 1-VC²cos² a /( 2gL').

période propre T0 du pendule simple : T0 = 2p(L'/g)½.

T0 = 2*3,14*(2/9,8)½ = 2,83 s.



Un solide S considéré comme ponctuel de masse m= 0,690 kg se déplace sur un plan incliné faisant un angle a=20° avec le plan horizontal . Ce solide est relié à un axe placé sur le bord supérieur du plan incliné et normal à celui-ci par un fil inextensible de masse négligeable de longueur L= 0,5 m. g=9,8 m/s².

Le solide est mis en mouvement depuis le point I avec une vitesse initiale v1. Au cours du mouvement le fil reste constamment tendu. Le mouvement du solide est étudié dans un repère lié à la terre et considéré comme galiléen.

  1. Quel est la nature de la trajectoire du solide ? le mouvement est-il uniforme ?
  2. On suppose dans cette question que le contact entre le solide et le plan est sans frottement. Lorsque le solide passe par sa position d'équilibre O la vitesse v0 de son centre d'inertie a pour vakleur v0= 2 m/s. Faire le bilan des forces s'exerçant sur le solide et faire un schéma.
    - Le solide remonte jusqu'en F, bord supérieur du plan incliné. Quelle est en F la vitesse du mobile ?
  3. En raison des frottement la vitesse en F a pour valeur vF= 0,5 m/s. Les forces de frottement sont assimilables à une force f opposée au vecteur vitesse. La valeur de f est supposée constante, la calculer.

corrigé
La trajectoire du solide est un arc de cercle.

Le solide est soumis à son poids, vertical vers le bas, à l'action du plan , normale au plan et à la tension du fil. La somme vectorielle de ces forces est différente de zéro : d'après le principe d'inertie le mouvement n'est pas uniforme.

vitesse du mobile en F :

variation d'énergie cinétique entre O et F : DEc= ½mvF²-½mv0².

l'action du plan et la tension du fil, perpendiculaire à la vitesse, ne travaillent pas.

travail du poids résistant ( ça monte )de O en F : -mgL sin a.

écrire le théorème de l'énergie cinétique : ½mvF²-½mv0² = -mgL sin a.

vF²= v0²-2gL sin a.

vF² = 4-2*9,8*0,5*sin20 = 0,648 ; vF= 0,805 m/s.


valeur de f :

travail des frottements, colinéaire à la vitesse, mais de sens contraire, de valeur f constante, entre O et F :

valeur de f * longueur de l'arc AB *cos180 = -f Lp/2

la différence entre l'énergie cinétique calculée et l'énergie cinétique réelle en F est égale au travail des frottements

-f Lp/2 = ½mv²F réelle-½mv²F calcul.

f = m(v²F calcul-v²F réelle)/(Lp)= 0,69(0,805²-0,5²)/(0,5*3,14)=0,175 N.



Un skieur, de masse M= 85 kg, s'élance sur un tremplin dont la piste, de longueur 150m, est située entre l'altitude 1638 à 1538m. Ce tremplin se termine par une partie horizontale.

  1. Quelle est la vitesse du sauteur quand il quitte le tremplin si l'ensemble des frotements dans cette partie du saut sont équivalents à une force constante de 350 N ?
  2. La piste de réception est plane et inclinée à 45°. Elle passe par un point A situé à la verticale de O et à 6,5 m sous lui. Déterminer la longueur du saut (distance entre A et le point B de contact skieur piste).


corrigé
travail moteur du poids en descente : Mg * différence d'altitude= 85*9,8*100=83300 J

travail résistant des frottements ( colinéaire à la vitesse, sens contraire, valeur constante :

-f * distance parcourue = -350*150 = -52500 J

total des travaux : 83300-52500 = 30 800 J

théorème de l'énergie cinétique : (vitesse initiale nulle) DEc= ½Mv²-0 = ½Mv²

la variation de l'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces

½Mv² = 30800 ; v²= 2*30800/85 = 724,7 ;

v= 26,9 m/s.


suivant un axe horizontal , le mouvement du sauteur est rectiligne uniforme x = v t

suivant un axe vertical descendant le mouvement du sauteur est une chute libre y=½gt²

t= x/v puis repport dans y : y = ½gx²/v² = 0,5*9,8 / 26,9² x² = 6,77 10-3

équation de la droite de réception inclinée de 45° ( pente, coefficient directeur = - tan 45 = - 1)

cette droite passe en A, 6,5 m sous le point O d'où y = - x + 6,5

résoudre l'équation 6,77 10-3 x² = -x+6,5

6,77 10-3 x² + x-6,5 =0

D= 1²-4*6,5*6,77 10-3 = 1,176 ; x= (-1+ rac carrée (1,176))/ (2*6,77 10-3)= 6,24 m

abscisse du point B= 6,24 m ;

puis AB² = OA² + xB² = 6,5² + 6,24²= 81,18 ; AB= 9 m .



Une voiture de masse M=800 kg, lancéeà la vitesse de valeur v=108 km.h-1 aborde, moteur coupé, une côte rectiligne de pente 5 % (la route s’élève de 5 m pour un parcours de 100 m sur la route).

  1. A quoi est égale la pente p de la route par rapport à l’angle a qu’elle forme avec l’horizontale ?
  2. Quelle distance la voiture parcourt-elle dans la côte avant de s’arrêter :
    - si l’on néglige toutes les forces de frottement et de résistance à l’avancement susceptibles de la ralentir.
    - Si l’on suppose que toutes ces forces de frottement et de résistance à l’avancement sont modélisables par une force (vecteur) F constante, parallèle à la route, en sens inverse du mouvement et de valeur F=150N. Donnée : g= 9.8N.kg-1
  3. La voiture est maintenant au sommet de la route précédente mais dans le sens de la descente. Le conducteur laisse le moteur coupé et dessere le frein à main.
    - Dans les deux cas décrits à la question précédente, calculer la valeur de la vitesse de la voiture après un parcours de 1,0 km dans cette descente.

corrigé
pente p = sin
a = 5/100 = 0,05

pas de frottement : en montée le travail du poids est résistant : WP(A-->B) = -mg AB sin a.

RN, perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas.

énergie cinétique initiale : ½mv² avec v = 108/3,6 = 30 m/s

la vitesse finale étant nulle, l'énergie cinétique finale est nulle et la variation d'énergie cinétique vaut DEc= 0-½mv² = -½mv².

Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit alors : -½mv² =-mg AB sin a.

½v² = g AB sin a soit AB = 0,5 v² / (gsin a ) = 0,5*30²/(9,8*0,05) = 918 m.

avec frottement :

travail résistant des frottement WF(A--> B) = -F AB

la variation d'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces : -½mv² = -F AB -mg AB sin a.

AB = 0,5 mv² / (F+mgsin a) = 0,5*800 *30² / (150+800*9,8*0,05)= 664 m.


pas de frottement : en descente le travail du poids est moteur : WP(A-->B) = + mg AB sin a.

RN, perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas.

énergie cinétique initiale nulle ; énergie cinétique finale : ½mv²

la variation d'énergie cinétique vaut DEc= ½mv²-0 = ½mv².

Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit alors : ½mv² = mg AB sin a.

v² = 2g AB sin a = 2*9,8*1000*0,05 = 980 ; v = 31,3 m/s.

avec frottement :

travail résistant des frottement WF(A--> B) = -F AB

la variation d'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces : ½mv² = -F AB +mg AB sin a.

v² = 2 AB( - F/m + gsin a) = 2000*(-150/800+9,8*0,05)= 605 ; v = 24,6 m/s.



Un solide S lancé a une vitesse de valeur v0=3,0 m/s de la position A où son centre d' inertie est à la hauteur h=30 cm au dessu du sol. Il n y a pas de frotement.

  1. Ecrire les expressions de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de pesanteur du solide S lorsqu'il est lancée en A.
  2. Quelle transformation d'énergie s'effectue sur le trajet AB. En déduire la valeur de la vitesse du solide S en B.
  3. Quel est le mouvement du solide sur BC ? Justifier.
  4. Quelle transformation d'énergie s'effectue sur CD ? Quelle distance le solide parcourt-il sur CD avant de s'arrêter et de redescendre.
    masse du solide m=200 g ; a=20° et b = 15 °

corrigé
énergie cinétique : Ec = ½mv²

énergie potentielle de pesanteur Ep= mgh

L'énergie mécanique en A est sous forme d'énergie potentielle et sous forme d'énergie cinétique ; l'énergie mécanique en B est sous forme d'énergie cinétique.( On prend l'altitude de B comme origine des altitudes)

Sur le parcours AB l'énergie potentielle diminue et l'énergie cinétique augmente.

L'énergie mécanique se conserve, car seul le poids travaille : ½mvB² = mgh +½mv0²

ou encore ½vB² = ½v0² +gh soit vB = racine carrée ( v0² + 2gh) avec h = 0,3 m et v0= 3m/s

vB = (9+2*9,8*0,3)½ = 3,86 m/s.

Entre B et C le solide est soumis à son poids et à l'action du plan, perpendiculaire au plan. Ces forces, perpendiculaires à la vitesse ne travaillent pas et en conséquence l'énergie cinétique ne varie pas. La valeur de la vitesse est constante. d'après le principe d'inertie, le solide est animé d'un mouvement rectiligne uniforme.


En C l'énergie mécanique du solide est sous forme d'énergie cinétique : ½mvC² = ½mvB².

En D ( arrêt) l'énergie mécanique est sous forme d'énegie potentielle de pesanteur : mg hC.

L'énergie cinétique initiale se transforme en énegie potentielle.

L'énergie mécanique se conserve car seul le poids travaille : ½mvB²= mg hC avec hC= CD sinb.

½vB²= gCD sinb soit CD= ½vB²/( g sinb )

CD= 0,5*3,86² / (9,8 sin 20)= 2,22 m.


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