Aurélie 01 / 05

Cogénération et moteur Stirling

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Le moteur de Stirling fait aujourd'hui l'objet de nombreux programmes de recherche développement aux États-Unis, au Japon et en Europe du Nord, où il y a déjà quelques opérations de démonstration en vraie grandeur, notamment en Allemagne et aux Pays-Bas. Le moteur de Stirling présente des avantages significatifs par rapport à un moteur à explosion, Diesel ou essence :

· peu de maintenance et une longue durée de vie ;

· moteur peu bruyant ;

· la combustion extérieure et continue, à basse pression, peut être parfaitement contrôlée pour émettre peu de gaz polluants (3 à 4 ppm d’oxydes d’azote) ;

· enfin, dans les installations de cogénération, la quasi-totalité de la chaleur non dépensée peut être récupérée et exploitée, ce qui conduit à un rendement global potentiel très élevé, de l'ordre de 95 %.

Les températures notées T sont des températures absolues, en K.

Généralités sur les moteurs

Un moteur est un système fermé échangeant un travail W avec l’extérieur, une chaleur QF avec une source froide (température TF) et une chaleur QC avec une source chaude (température TC).

  1. Indiquer les signes des quantités W, QF et QC, en justifiant la réponse.
  2. Donner la définition du rendement (ou coefficient de performance) d’un moteur.
  3. On rappelle qu’un cycle de Carnot est constitué de deux transformations réversibles isothermes et de deux transformations réversibles adiabatiques. Rappeler l’expression du rendement d’un cycle de Carnot en fonction de TF et TC.
    - Existe-t-il, a priori, un moteur de plus grande performance, à TF et TC données ?
  4. Étude théorique du moteur de Stirling
    Le moteur de Stirling est modélisé ainsi : moteur ditherme à combustion externe dans lequel un gaz parfait est soumis à un cycle à quatre transformations :
    · 1->2 compression isotherme où le gaz échange de la chaleur avec la source froide
    . 2->3 transformation isochore
    · 3->4 détente isotherme où le gaz échange de la chaleur avec la source chaude
    · 4->1 transformation isochore
    On notera Pi, Vi, Ti les variables d’état relatives aux états (i).
    - Donner, sans démonstration, l’expression des travaux W12, W23, W34 et W41 échangés au cours de chaque transformation ainsi que le travail total W en fonction des variables Vi, Ti et n (quantité de gaz parfait, en mol).
    - Expliquer pourquoi la variation d’énergie interne est nulle au cours de la transformation 3->4. En déduire l’expression de la quantité de chaleur Q34 échangée avec la source chaude.
    - Établir l’expression donnant le rendement du moteur de Stirling en fonction de TC et TF. Justifier alors l’intérêt que suscite un tel moteur.
  5. Étude numérique du moteur de Stirling
    Ce moteur est utilisé pour une installation individuelle de cogénération. Il est placé au foyer d’une parabole : la source chaude est ainsi maintenue à 770 K par concentration du rayonnement solaire. Le travail obtenu est transformé en électricité à l’aide d’un alternateur, et la chaleur restante sert au chauffage de la maison. Le tableau suivant donne les valeurs des variables P, V et T dans les quatre états du système.


    état 1
    état 2
    état 3
    état 4
    P(pa)
    105
    5 105
    14,3 105
    2,9 105
    V (m3)
    10-3
    2 10-4
    2 10-4
    10-3
    T(K)
    270
    270
    770
    770

    - Calculer le rendement de ce moteur.
    - Calculer W, Q34 et en déduire la valeur de la chaleur Q12 échangée avec la source froide.
    - Sachant que le cycle est répété 500 fois par minute, en déduire la puissance fournie sous forme de travail. Calculer également la puissance thermique fournie par le système. 



corrigé


travail cédé à l'extérieur, négatif par définition

Qc recu par le système, positif par définition

Qf cédée par le système, négatif par définition

rendement : travail mis en jeu / Chaleur cédée par la source chaude

rendement carnot : (Tc-Tf)/Tc.

W12= nRTf ln( P2/P1)

or P1V1=P2V2 ( isotherme) donc W12= nRTf ln( V1/V2)

or V1=V4 et V2=V3 (isochore) d'où : W12= nRTf ln( V4/V3)

W23=0 ( isochore)

W34= nRTc ln(P4/P3)

or P3V3=P4V4 ( isotherme) donc W34= nRTc ln( V3/V4)

W41 = 0 ( isochore)

l'énergie interne d'un gaz parfait ne varie pas si la température reste constante.

en conséquence W34+Q34=0 soit Q34 = - W34 ; W12+Q12=0 soit Q12 = - W12;

rendement =| (W12+W34)/ Q34 |= | (W12+W34)/ (-W34 ) |=| -W12/W34-1|

W12 / W34= -Tf / Tc

d'où le rendement : |Tf / Tc -1| = |270 / 770-1 |= 0,65.

Ce rendement est d'autant plus grand que la différence de température entre les deux sources est grand.

Q34 = -W34 et nRTf = P3V3=P4V4 = 290 ; Q34 = 290 ln 5 = 466 J ; W34= - 466 J

nRTc= P1V1=P2V2 =190 ; W12 = 100 ln 5 = 161 J ; Q12 = -161 J

travail total sur un cycle : 466 -161 = 305 J

sur 500 cycles : 305*500 = 152 500 J

puissance 152 500 /60 = 2540 W.

puissance thermique reçue de la source chaude : 466*500/60 = 3880 W

puissance thermique cédée à la source froide : 161*500/60 = 1340 W.



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