Aurélie 02/05

Ressorts ; pendule ; électricité dipôle (RLC) ; acide base ; oxydoréduction ; pile physique : 1 h ; chimie : ½ h ; sans calculatrice ; d'après concours kiné EFOM 2005

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Mécanique ( 10 points)

Un solide S de masse m, est fixée à deux ressorts R1 et R2 identiques, de longueur à vide l0 et de constante de raideur k. L'autre extrémité de chaque ressort est accrochée à un point fixe. Les deux ressorts sont portés par la même droite horizontale passant par le centre de la boule. On constate que les ressorts se sont allongés, par rapport à leur position à vide, d'une longueur notée L. On désigne par A la position du centre d'inertie G du solide lorsque l'ensemble est à l'équilibre. Les frottements sont négligeables.

Ecarté de sa position d'équilibre, le solide est lâché sans vitesse initiale. Les deux resorts restent allongés au cours du mouvement. Au cours des oscillation, soit G une position quelconque du centre d'inertie du solide, telle que mesure algébrique (AG)= x >0.

 

  1. Faire le bilan des forces qui agissent sur le solide lorsqu'il est en G à l'aide d'un schéma clair.
    - Donner en fonction de L et de x, les allongements respectifs des deux ressorts par rapport à leur position à vide respectives
    - A partir de la seconde loi de Newton, déterminer l'équation différentielle du mouvement de G, à laquelle obéit l'abscisse x(t)..
    - Donner l'expression littérale de la période propre de cet oscillateur.
    - Donner l'expression générale générale d'une solution de cette équation différentielle.
  2. Pour le système oscillant étudié, donner l'expression en fonction de la variable x et des données du problème :
    - De l'énergie potentielle élastique Epe(x)
    - De l'énergie cinétique Ec(x)
    - De l'énergie mécanique totele E(x) en choisissant comme origine de l'énergie potentielle de pesanteur le plan horizontal passant par A.
  3. Retrouver l'équation différentielle du mouvement de S en utilisant la conservation de l'énergie mécanique du système {solide+ ressorts}
  4. On veut remplacer les deux ressorts identiques de raideur k par un ressort équivalent de constante kéqui. Ce ressort est relié au solide S et constitue un nouvel oscillateur.
    - Donner l'expression de la période propre de ce nouvel oscillateur.
    - Sachant que l'oscillateur équivalent possède la m$eme période propre que celle de l'oscillateur initial composé des deux ressorts, exprimer kéqui en fonction de k.
    - On fait l'étude énergétique de l'oscillateur équivalent composé du solide S et du ressort équivalent. Donner l'expression en fonction de la variable x et des données du problème :
    - De l'énergie potentielle élastique E'pe(x)
    - De l'énergie cinétique E'c(x)
    - De l'énergie mécanique totele E'(x)
    - Représenter sur un même graphe ces fonctions.

corrigé

longueur de R1 : l1+x = l0+L+x ; allongement : L+x

longueur de R2 : l2-x = l0+ L-R-x ; allongement : L-x

la seconde loi de Newton s'écrit en projection sur l'axe Ax : -T1 + T2 = mx"

-k(L+x) + k(L-x)=mx"

2kx=mx" soit x" + 2k/m x=0

on pose w²= 2k/m ; w = 2pf soit f = 1/(2p)[2k/m]½ ; T= 1/f = 2p[2k/m]

solution du type : x(t) = Xmax cos( w t+j)


Epe(x)= ½(2k) x²
E(x)= ½(2k) x² + ½mv² = k Xmax²= constante.

d'où Ec(x) = E(x)-Epe(x)=k( Xmax²-x²)

dériver E(x) par rapport à x : 2kx x' + mv v'=0 avec x'= v et v'= x" ; 2kx v + mv x"=0

d'où en simplifiant par v : 2kx + mx"=0



T= 2p[kéqui/m]; kéqui =2 k.

E'pe(x)= ½kéqui
E(x)= ½kéqui x² + ½mv² = k Xmax²= constante

d'où Ec(x) = E(x)-Epe(x)=k( Xmax²-x²)

(1) énergie potentielle ; (2) énergie cinétique ; (3) énergie mécanique totale.





pendule : 5 points

Un pendule est constitué d'une masse m suspendue à un fil inextensible de longueur L. A partir de la position d'équilibre OA0, on communique à la masse m une vitesse horizontale de valeur v0. Une position quelconque est déterminée par son abscisse angulaire q.

  1. Exprimer la vitesse v au passage en A en fonction de q.
  2. Exprimer la tension du fil en A en fonction de q. Donner l'expression de la tenion minimale du fil.
  3. Déterminer la valeur minimale de la vitesse de lancement v0 qui permet à la masse m d'effectuer des rotations autour de O, le fil restant tendu.
    L= 1 m ; g = 10 m/s² ; racine carrée (50) = 7,1.
     

corrigé

énergie mécanique ( A0 : origine de l'énergie potentielle de pesanteur)

en A0 : E= ½mv0²

en A : ½mv²+mgL(1-cosq)

seul le poids traville, donc l'énergie mécanique se conserve : ½mv0² = ½mv²+mgL(1-cosq)

v²= v0² -2gL(1-cosq)

T= m[g cos q +v²/L] = m[g cos q +v0²/L -2g(1-cosq)]= m[3g cos q +v0²/L -2g]

La plus petite valeur de la tension Tmin est zéro : la petite masse m passe au point le plus haut (q= 180° et cos q = -1), le fil étant à la limite d'être tendu.

d'où : 3g cos 180 +v0²/L -2g =0

-3g+v0²/L -2g =0 ; v0² = 5gL = 50 soit v0 = 7,1 m/s.



circuit (RLC) : 5 points

 

Le condensateur ci-dessus, de capacité C est initialement chargé sous une tension U0

A l'instant t=0, on ferme l'interrupteur K. A cet instant l'intensité i0 du courant est nulle. L'intensité du courant i(t) est comptée positivement quand le courant circule dans le sens indiqué ( courant de décharge du condensateur). On appelle q la charge de l'armature du condensateur.

  1. Ecrire la relation entre i(t) et q(t) d'une part et q(t) et uc(t) d'autre part.
  2. Etablir l'équation différentielle à laquelle obéit la tension uc aux bornes du condensateur.
  3. On se limite au cas où la résistance r de la bobine est nulle.
    - Que devient dans ce cas l'équation différentielle ?
    - Donner l'expression de la pulsation propre w0 des oscillations, de leur fréquence propre et enfin de la période propre T0.Montrer que la période a bien la dimension d'un temps, par une étude dimensionnelle.
    - Déterminer une solution de cette équation différentielle qui vérifie les conditions initiales.
    - Donner l'expression générale de l'énergie stockée dans le condensateur, et de celle stockée dans la bobine.
    - En déduire l'expression de l'intensité maximale Imax du courant circulant dans le circuit en fonction de C, L et U0.

corrigé
i(t) = -dq(t) / dt = -q'(t) ; i'(t) = -q"(t) ( signe moins car décharge du condensateur)

Cuc(t) = q(t) d'où q'(t) = C u'(t) et q"(t) = C u"c(t)

uc = Ldi/dt + ri ; uc = -Lq" - r q' ; uc = -LC u"c - rC u' ;

LC u"c + rC u' + uc =0

si r négligeable alors LC u"c + uc =0 ou u"c +1/(LC) uc =0

on pose w0² = 1/(LC) ; w0 = 2pf ; T0 = 1/f = 2p/w0 =2p(LC)½.

2p est sans dimension ;

u = Ldi/dt soit L= u dt/di : volt seconde ampère-1.

C = q/u = It/u soit ampére seconde volt-1.

LC a la dimension : seconde ² ; (LC)½ a la dimension : seconde.

donc la période a bien la dimension d'un temps.

solution de l'équation différentielle : uc= U0 cos(w0 t)

à t=0, uc(0) = U0 ; i(t) = Cu'c= C U0w0( -sin(w0 t)) ; i(t=0 ) = 0 est bien vérifié.

énergie stockée : dans le condensateur Ec= ½Cuc² ; dans la bobine : EL=½Li²

Il y a un échange permanent d'énergie entre condensateur et bobine : en absence de résistance l'énergie totale est constante.

lorsque le condensateur stocke toute l'énergie Etotale =½CU²0.

lorsque la bobine stocke toute l'énergie : Etotale =½LI²max.

d'où ½CU²0= ½LI²max ; I²max = CU²0 / L



acide base : 5 points 

couples : CH3COOH / CH3COO- pKa1 = 4,7 ; NH4+/NH3 pKa2 = 9,2 ; CH3 NH3+/CH3NH2 pKa3 = 10,7. log 2 = 0,3.

  1. On dispose d'une solution SA d'acide éthanoïque CH3COOH de concentration CA= 10-2 mol/L et de pH=3,4.
    - Rappeler la définition d'un acide au sens de Brönsted.
    - L'acide éthanoïque est un acide faible. Justifier cette affirmation par un calcul.
    - Ecrire l'équation bilan de la réaction de l'acide éthanoïque avec l'eau.
    - Donner l'expression de la constante d'acidité Ka associée au couple CH3COOH / CH3COO-.
  2. On dispose de deux solutions de bases faibles : une solution SB1 d'ammoniac NH3 et une solution SB2 de méthylamine CH3NH2.
    - L'ammoniac est-elle une base plus faible que la méthylamine ? Justifier en utilisant les données.
  3. On mélange un volume VA= 60 mL de la solution SA d'acide éthanoïque à un volume VB1= 20 mL de la solution SB1 d'ammoniac de concentration CB1 = 2 10-2 mol/L. La mesure du pH est 5.
    - Sur un axe gradué en pH, placer les domaines de prédominance des quatres espèces acido-basiques concernées. Quelles sont les espèces qui prédominent à pH=5 ?
  4. On mélange maintenant un volume V'A = 10 mL de la solution SA d'acide éthanoïque à un volume VB2= 20 mL de la solution SB2 de méthylamine de concentration CB2 = 1,5 10-2 mol/L.
    - Calculer les quantités de matière d'acide éthanoïque et de méthylamine avant toute réaction.
    - Ecrire l'équation-bilan de la réaction qui se produit. Montrer que cette réaction peut être considérée comme totale. Préciser le réactif limitant.
    - Dresser le tableau d'avancement de cette réaction et calculer les quantités de matière de chaque espèce après réaction et en déduire leur concentration molaire dans le mélange.
    - En utilisant le pKa du couple CH3 NH3+/CH3NH2 calculer le pH de la solution.

corrigé
acide :
espèce, ion ou molécule, susceptible de cédér un proton H+.

Pour un acide fort pH= - log c ; dans ce cas pH= - log 10-2 = 2

or on trouve une valeur supérieure à 2 : donc l'acide éthanoïque est un acide faible.

CH3COOH + H2O = CH3COO- + H3O+.

Ka = [CH3COO-][ H3O+] / [CH3COOH]


à concentration égale, la base la plus forte appartient au couple acide base possédant le plus grand pKa.

donc l'ammoniac est une base plus faible que la méthylamine, à concentration égale.

à pH = 5 les espèces suivantes prédominent : CH3COO- et NH4+


Qté de matière (mol) = concentration (mol/L) * volume (L)

n0(acide) = CA V'A = 10-2 * 10-2 = 10-4 mol.( réactif limitant)

n0(méthyamine) = CB2 VB2 = 1,510-2 * 2 10-2 = 3 10-4 mol.

CH3COOH + CH3NH2 = CH3COO- + CH3 NH3+.

K = [CH3COO-][CH3 NH3+] / ([CH3COOH][ CH3NH2])

K = [CH3COO-][H3O+][CH3 NH3+] / ([CH3COOH][ CH3NH2][H3O+])

K = Ka1/Ka3 = 10-4,7 / 10-10,7 = 106 ; valeur grande, donc réaction totale dans le sens direct.

CH3COOH
+ CH3NH2
= CH3COO-
+ CH3 NH3+.
départ
10-4 mol
3 10-4 mol
0
0
en cours
10-4 -x
3 10-4-x
x
x
final
10-4 -xmax = 0
3 10-4-xmax

= 2 10-4 mol

xmax =10-4 mol
xmax =10-4 mol
xmax = 10-4 mol ; volume du mélange 0,03 L

[CH3NH2]= 2 10-4 / 0,03 = 2/3 10-2 mol/L ; [CH3COO-]=[CH3 NH3+] = 10-4 / 0,03 = 1/3 10-2 mol/L.

pH = pKa3 + log([CH3NH2]/[CH3 NH3+]) = 10,7 + log 2 = 11.



oxydoréduction et pile : 5 points

 On considère la réaction d'oxydoréduction entre le métal cuivre et l'ion argent (I) : 2Ag+ + Cu(s) = Cu2+ + 2Ag(s). (1)

La constante d'équilibre associée est K= 2 1015.

On réalise deux expériences : - en mettant en contact direct les deux réactifs ; - en réalisant une pile électrochimique.

A - réactifs directemment en contact :

  1. Un bécher contient un volume V1=20 mL de solution de nitrate d'argent de concentration C1= 0,1 mol/L. On ajoute V2 = 20 mL de solution de nitrate de cuivre de concentration C2 = 0,05 mol/L. On obtient une solution dans laquelle cohabitent Ag+, NO3-, Cu2+. Calculer les concentrations molaires initiales des ions Ag+et Cu2+ dans le bécher.
  2. On plonge ensuite dans le bécher un fil de cuivre et un fil d'argent.
    - Ecrire l'expression littérale du quotient de réaction Qi , correspondant à la réaction (1) donnée ci-dessus.
    - Calculer sa valeur et en déduire le sens d'évolution spontanée de la réaction (1)
    - Quelle observation expérimentale confirme le sens d'évolution de la transformation ?
    - Le cuivre est en excès. Lorsque le système a atteint son état d'équilibre, la concentration en Cu2+ est 0,05 mol/L. Montrer que les ions Ag+ sont en quantité négligeable en calculant leur concentration. Conclure sur le caractère de la transformation.

B -pile électrochimique : on dispose du matériel suivant :

- Un bécher contenant contenant un volume V1=20 mL de solution de nitrate d'argent de concentration C1= 0,1 mol/L.

- Un bécher contenant contenant un volume V2 = 20 mL de solution de nitrate de cuivre de concentration C2 = 0,05 mol/L.

- Un fil de cuivre de masse m= 1,2 g et un fil d'argent.

- Un pont salin contenant une solution ionique saturée de nitrate de potassium.

  1. Faire un schéma annoté de la pile.
  2. Un ampérémètre en série avec un conducteur ohmique de résistance R= 100 W est placé entre les bornes de la pile. Le conducteur ohmique est traversé par un courant de très faible intensité dans le sens de l'argent vers le cuivre.
    - En déduire le sens de circulation des électrons dans le conducteur ohmique.
    - Interpréter le fonctionnement de la pile en écrivant les deux demi-équations aux électrodes.
    - Le sens d'évolution spontané est-il en accord avec celui déterminé ci-dessus ?
    - Quel est le rôle du pont salin ? Indiquer le mouvement des porteurs de charge dans le pont.
  3. On laisse fonctionner le système pendant une durée suffisamment longue pour que la pile ne débite plus.
    - Construire un tableau d'avancement de la transformation.
    - Quel est le réactif limitant ?
    - Quelle est la concentration en ion cuivre (II) à la fin de la réaction ?
    - Déterminer la quantité d'électricité qui a traversé la résistance depuis l'instant où la pile a commencé à débiter jusqu'à l'instant où la pile s'arrête de fonctionner.

1 F voisin 105 C ; masse molaire Cu voisine 60 g/mol


corrigé
[
Ag+]i =C1V1/(V1+V2)=0,1*20/40 = 0,05 mol/L ; [Cu2+]i =C2V2/(V1+V2)=0,05*20/40 = 0,025 mol/L

Qi = [Cu2+]i /[Ag+]i 2=0,025 / 0,05²= 10.

Qi <K donc évolution dans le sens direct.

On observe un dépôt d'argent sur le fil de cuivre.

K = [Cu2+]équi /[Ag+]équi 2 soit [Ag+]équi =([Cu2+]équi /K)½= (0,05/ 2 1015)½= 5 10-9 mol/L

La transformation est totale.


à l'anode négative, oxydation du cuivre Cu(s) = Cu2+ + 2e-.

à la cathode positive, réduction de l'ion argent : 2 Ag+ + 2e- = 2Ag(s)

bilan : 2Ag+ + Cu(s) = Cu2+ + 2Ag(s)

en accord avec le sens d'évolution spontané prévu ci-dessus.

Le pont salin assure le contact électrique et permet aux solutions de rester électriquement neutres.

Des ions Cu2+ apparaissent dans le bécher de gauche : donc migration des ions nitrate du pont vers ce bécher.

Des ions Ag+ disparaissent dans le bécher de droite : donc migration des ions K+ du pont vers ce bécher.

2Ag+
+ Cu(s)
= Cu2+
+ 2Ag(s)
initial
2 10-3 mol
1,2/60 = 0,02 mol
10-3 mol
n
en cours
2 10-3 -2x
0,02-x
10-3 +x
n + 2x
fin
2 10-3 -2xmax =0

xmax = 10-3 mol

0,02-xmax

=1,9 10-2 mol

10-3 +xmax

= 2 10-3 mol

n + 2xmax
l'ion argent est le réactif limitant.

[Cu2+]fin= 2 10-3 / 0,02 = 0,1 mol/L

Qté de matière d'électrons = Qté de matière d'ion argent = 2 10-3 mol

La charge d'une mole d'électrons vaut, en valeur absolue, 105 C ou 1 faraday.

Qté d'électricité : 2 10-3 * 105 = 200 C



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