Aurélie dec 04

Cyclotron ; produit tensioactif

d'après bts Chimiste 2004

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Cyclotron

Un cyclotron sert à accélérer des particules chargées. Danc ce cas les particules sont des protons de masse m= 1,67 10-27 kg et de charge e= 1,6 10-19 C. Le cyclotron comporte deux demi cylindres conducteurs appelés "dees" et séparé par un intervalle étroit. Un champ magnétique uniforme B règne à l'intérieur de chaque "dee", sa direction est parallèle à l'axe des demi-cylindre, sa valeur est B= 1 T.

Un champ électrique E variable dans le temps, peut être établi dans l'intervalle étroit qui sépare les "dees". Il permet d'augmenter la vitesse des protons chaque fois qu'il pénètrent dans cet intervalle. Ce champ électrique est obtenu en appliquant une tension sinusoïdale de valeur maximale Um= 2000 V et de fréquence f entre les deux "dees".

 

  1. Le proton entre dans le "dee 1" avec une vitesse initiale d'injection v0 perpendiculaire à l'axe des demi-cylindres. On néglige le poids du proton devant la force magnétique.
    - Donner l'expression de la force agissant sur le proton en O ; la représenter.
    - Le mouvement du proton étant plan, montrer que la valeur de la vitesse est constante.
    - Montrer que la trajectoire est circulaire de rayon r = mv0/(eB)
  2. Exprimer la longueur L parcourue par un proton sur le demi-tour de rayon r0. En déduire l'expression du temps t mis par ce proton pour effectuer ce demi-tour.
    - Ce temps dépend-il de v0 ? Calculer ce temps.
  3. Le proton, après avoir fair un demi-cercle dans un "dee", entre dans l'intervalle étroit où il est accéléré par le champ électrique considéré comme constant, de valeur Um et colinéaire au vecteur vitesse du proton. Calculer la fréquence f de la tension alternative appliquée entre les "dees" pour que les protons subisent une accélération maximale à chaque traversée de l'intervalle. On suppose que le temps de traversée de l'intervalle est négligeable devant le temps passé dans les "dees".
  4. Exprimer littéralement , puis calculer la variation d'énergie cinétique DE du proton lorsqu'il traverse l'intervalle étroit. ( en J et en eV)
    - Préciser si le rayon de la trajectoire du proton augmente ou diminue à chaque fois qu'il traverse l'intervalle étroit.
  5. La vitesse d'injection étant pratiquement nulle, on désire atteindre une vitesse v= 2 104 km/s. Calculer le nombre de tours que le proton doit décrire dans le cyclotron.
  6. Calculer la valeur du rayon à partir duquel les protons ayant acquis cette vitesse seront extraits, en admettant qu'ils soient injectés à proximité immédiate du centre O du cyclotron.

corrigé
dans un dee :

q : charge électrique en coulomb

v : vitesse en m/s

B : champ magnétique en tesla

F : force de Lorentz en newton.

La force magnétique est centripète, perpendiculaire au plan défini par la vitesse et le champ magnétique.

Ecrire la seconde loi de Newton dans la base de Frenet :

l'accélération est centripète de norme qv0B/m = v0² /rayon

en conséquence : dv/dt =0, le mouvement est uniforme ( norme de la vitesse constante)

et qv0B = mv0² / rayon

rayon = mv0 / (qB)

le rayon est constant, le mouvement est circulaire.


longueur L parcourue par un proton sur le demi-tour de rayon r0 : L= pr0 ( demi-circonférence)

L= pmv0 / (qB)

temps t mis par ce proton pour effectuer ce demi-tour à vitesse constante : t= L/v0 = pm / (qB), indépendant de v0.

t= 3,14 * 1,67 10-27 / (1,6 10-19*1)= 3,28 10-8 s.

Pour accélérer de manière efficace les particules :

- d'une part la tension alternative doit être maximale :

sa demi période est égale à la durée nécessaire pour effectuer ce demi tour.

T= 2*t = 6,56 10-8 s ; fréquence f = 1/T = 1,53 107 Hz.

- d'autre par le travail de la force électrique doit être positif :

q Em >0 impose un changement du signe de la tension à chaque demi tour


à la sortie : écrire le théorème de l'énergie cinétique :

travail de la force électrique : qUm

DEc = qUm = 1,6 10-19 * 2 103 = 3,2 10-16 J.à chaque ½ tour

3,2 10-16 / 1,6 10-19 = 2000 eV.

la vitesse augmente à chaque fois que le proton traverse l'intervalle étroit ; or le rayon de la trajectoire est proportionnel à la vitesse ; donc le rayon augmente.

nombre de tours : énergie finale de la particule divisée par l'énergie acquise à chaque tour

v f= 2 107 m/s ; Ef= ½mvf² = 0,5*1,67 10-27 * (2 107)² = 3,34 10-13 J

3,34 10-13 / (2*3,2 10-16) = 522 tours.

valeur du rayon à partir duquel les protons ayant acquis cette vitesse seront extraits

r = mv/(qB) = 1,67 10-27 * 2 107 / 1,6 10-19 = 0,21 m.





produit tensioactif

L'étude est menée à température constante de 298 K.

Un film tensioactif disposé à la surface libre de l'eau est composé de molécules constituées de deux parties aux propriètès antagonistes: une partie hydrophile polaire, une partie hydrophobe. A l'interface eau/air, ces molécules forment spontanément une monocouche. La figure ci-dessous illustre ce comportement. Une barrière flotante PF sépare la cuve en deux compartiments, l'un contenant l'eau pure, l'autre l'eau recouverte du film.

  1. Quelle est la partie de la molécule en contact avec l'eau ?
  2. A l'interface séparant deux milieux quelconques est associée une énergie libre F proportionnelle à la surface A du film : F= gA.
    g est la tension superficielle, elle dépend de la nature de l'interface et de la température absolue T. On rappelle que F= U-TS.
    - Montrer que, dans une transformation réversible à température constante, la variation de F ( notée dF) est égale au travail dW reçu ou fourni par l'interface.
    - Exprimer dW en fonction de la variation dA de la surface du film dans le cas d'une transformation isotherme.
    - Par une analyse dimensionnelle, montrer que l'on peut considéré g comme une énergie de surface et comme une force par unité de longueur.
  3. La tension superficielle de l'interface eau/air vaut g 0= 72 10-3 N/m. Celle de l'interface (eau+ tensioactif)/(air) vaut g = 24 10-3 N/m. Indiquer quel est le rôle du tensioactif dans ce cas.
    - Exprimer la force FR par unité de longueur qui s'exerce sur la barrière flottante PF séparant les deux compartiments en fonction des tensions superficielle g et g0. Indiquer les sens et la direction de cette force sur un schéma.
  4. Afin de mesurer la tension superficielle g du film on utilise la méthode d'arrachement dont le principe est indiqué sur le schéma suivant :

    La lame de platine ( masse m et largeur L) est tirée par un fil auquel on applique une force F verticale et dirigée vers le haut sur la lame. Cette force est proportionnelle à l'intensité I du courant d'un circuit extérieur, non représenté. F= K I avec K une constante K= 0,33 N/A.
    - Faire l'inventaire des forces auquelles est soumise la lame de platine lorsque sa partie inférieure se trouve immergée dans le liquide. Représenter ces quatre forces sur un schéma.
    - L'extrémité de la lame est mise en contact avec le film, l'angle de raccordement qc entre la lame et le film est nul. Ecrire la relation entre K, I, g, m, g ( accélération de la pesanteur) et L traduisant l'équilibre de la lame, sans tenir compte de la poussée d'Archimède.
    . Dans le cas où la lame est mise en contact avec l'eau pure, la valeur du courant mesuré est I0. Montrer alors que :
    g= g0 -K/(2L) ( I0-I)
    . En déduire la valeur de g du film sachant que : I= 2,9 mA; I0 = 8,6 mA ; L= 2 cm.


corrigé
La
partie hydrophile polaire est en contact avec l'eau.

F= U-TS ; dF= dU - TdS à température constante

or dU = d W + d Q ; dF= d W + d Q-TdS
dans une transformation réversible à température constante, d Q-TdS= 0 d'où dF= d W

la variation de F ( notée dF) est égale au travail dW reçu ou fourni par l'interface.

F= gA ; dF= gdA ; d W = gdA

analyse dimensionnelle : g = d W / dA soit une énergie divisée par une surface (joule mètre -2)

or le travail s'exprime en joule : joule = force * longueur = newton * mètre

joule mètre -2 = newton * mètre *mètre -2 = newton * mètre-1.(une force par unité de longueur)

Le rôle du tensioactif , dans ce cas, est de faciliter le passage des molécules d'eau dans l'air.

Force FR par unité de longueur qui s'exerce sur la barrière flottante PF séparant les deux compartiments : FR= g0-g

force tangente à l'interface liquide/air, dirigée vers l'eau sans tensioactif.

Les gouttes de tensioactif ont modifié la tension superficielle de l'eau. La résultante des forces exercée par l'eau additionnée de tensioactif est inférieure à la résultante des forces exercée par l'eau pure.


La lame de platine est soumise à :

- son poids, vertical vers le bas, valeur mg

- la force F, verticale vers le haut, valeur K I

- la poussée d'Archimède , verticale vers le haut , valeur reau *g * volume de la lame immergé

la tension superficielle, verticale vers le bas ( vers le liquide), valeur : g L de chaque coté de la lame soit 2g L

à l'équilibre la somme vectorielle de ces forces est nulle :

pour l'eau avec tensioactif : mg -KI +2g L =0 (1)

pour l'eau pure : mg -KI0 + 2g0 L =0 (2)

(1) donne : g = ( KI-mg) / (2L)

(2) donne : mg = KI0 -2 g0 L ; repport ci-dessus : g = K(I-I0)/(2L)+ g0

g = g0 -K(I0-I)/(2L)

I= 2,9 10-3A; I0 = 8,6 10-3 A ; L= 0,02 m ; K= 0,33 N/A ; g 0= 72 10-3 N/m

g =72 10-3 - 0,33( 8,6-2,9) 10-3 / 0,04= 25 10-3 N/m.



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