Aurélie nov 05

Equation différentielle ; méthode d'Euler.

d'après bac Antilles septembre 2005

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Une équation au service des sciences physiques

L'équation différentielle dx/dt + ax =b (1), ( a et b étant des grandeurs constantes), permet de décrire un grand nombre de phénomènes physiques variables au cours du temps: intensité, tension, vitesse, grandeur radioactive.

A. Dans le domaine des systèmes électriques :

Cette première partie tend à montrer la validité du modèle pour un circuit électrique mettant en jeu une bobine d'inductance L et de résistance r = 11,8 ohms ,(donc non négligeable), et un conducteur ohmique de résistance R = 12 ohms, alimenté par un générateur délivrant une tension continue E = 6,1 V.

 

expression littérale de la constante de temps t en fonction des paramètres du circuit : t =L/(R+r)

loi d'additivité des tensions E= uAB + uBC.

tension aux bornes de la bobine : uAB = Ldi/dt + r i

tension aux bornes du résistor : uBC= Ri

E= Ldi/dt + r i +Ri ; di/dt +(R+r)/L i = E/L équation différentielle vérifiée par l'intensité.

en posant a= (R+r)/L et b = E/L on retrouve le modèle mathématique

équation horaire littérale i(t) d'après le modèle mathématique : i(t) =b/a(1-exp(-at)

i(t) = E/(R+r) (1-exp( -(R+r)t/ L)

dériver par rapport au temps : di/dt = E/(R+r) exp( -(R+r)t/ L)

repport dans l'équation différentielle :

E/(R+r) exp( -(R+r)t/ L) + E/L(1-exp( -(R+r)t/ L) = E/L

La solution proposée valide bien l'équation différentielle.

Sachant que t = L/(R+r), cette équation horaire peut s'écrire i(t) = E/(R+r) (1-exp(-t/t)) .

On appellera I l'intensité en régime permanent : au bout d'un temps suffisamment long le régime permanent est atteint et exp(-t/t) tend vers zéro;

d'où I= E/(R+r).




dans le domaine mécanique :

L'étude de la chute d'une bille d'acier, de masse m, dans un fluide de masse volumique rfluide a été exploitée grâce à un logiciel.

 

L'équation mathématique associée à la courbe modélisée, vérifie v(t) = 1,14(1-exp(-t/0,132)) (3), avec v(t) en m.s-1 et t en s. Cette équation est identifiable à la solution du modèle mathématique correspondant à b différent de zéro.

v(t) = 1,14(1-exp(-t/0,132)) identifié à : v(t) = b/a (1-exp(-at))

d'où a= 1/0,132 = 7,58 s-1; b/a = 1,14 soit b = 1,14 a= 1,14/0,132=8,64 m s-2.

(1-exp(-t/0,132)) est sans dimension ; le second membre doit être homogène à une vitesse, en conséquence b/a est homogène à une vitesse, exprimée dans ce cas en m s-1.

L'équation différentielle ayant l'équation (3) pour solution vérifie l'écriture : dv/dt + a v=b soit dv/dt + 7,58 v = 8,64

Forces appliquées à la bille :

poids, vertical vers le bas, valeur mg : Vrbilleg

poussée d'Archimède, verticale vers le haut, valeur P= Vrfluideg

force de frottement fluide, colinéaire et de sens contraire à la vitesse, valeur f= kv, ( k=constante)

 

En utilisant un axe vertical orienté vers le bas, la seconde loi de Newton s'écrit :

mdv/dt = -kv +mg-Vrfluide g ; mdv/dt +kv = mg-Vrfluide g ; mdv/dt +kv = g(m-Vrfluide )

dv/dt + k/m v = g(1-Vrfluide /m).

expression littérale des coefficients a et b de l'équation :

a = k/m et b = g(1-Vrfluide /m).

valeur du coefficient b si la poussée d'Archimède était nulle : b = g

Or l'équation différentielle ayant l'équation (3) pour solution vérifie l'écriture dv/dt + 7,58 v = 8,64 dans laquelle b = 8,64, valeur différente de 9,81.

La poussée d'Archimède doit donc être prise en compte.


Dans le domaine de la radioactivité :

 Le 11C est un traceur radioactif utilisé pour suivre en particulier l'évolution de la maladie de Parkinson. Le traceur radioactif se fixe sur le cerveau. L'activité moyenne résiduelle évolue au cours du temps selon la loi A(t) = A0exp(-lt).

analyse dimensionnelle : dans l'expression "exp(-lt) " , lt est sans dimension, en conséquence l est homogène à l'inverse d'un temps [l]=T-1.

relation liant l à la constante de temps t du radio isotope : l= 1 / t.

Loi d'évolution A(t) en fonction de t : A(t) = A0 exp(-t/t).

constante de temps t : à t=t, A(t)= A0 exp(-1) = 0,37 A0.

demi vie t½ : durée au bout de laquelle l'activité A(t) est égale à la moitié de l'activité initiale A0.

valeur de l = 1/t = 1/ 30 =3,4 10-2 min-1.

A(t) = A0exp(-lt) ; dA(t)/dt = -A0lexp(-lt) ; dA(t)/dt = -lA(t)

or

relation liant A(t+Dt), A(t), l et Dt : A(t+Dt) = A(t) -lA(t) Dt ; A(t+Dt) = A(t)(1-lDt).

La méthode d'Euler impose de se fixer un pas Dt pour effectuer les calculs. Ce pas doit être de l'ordre du dixième de la constante de temps, c'est à dire de l'ordre de 3 min : la valeur Dt = 15 min n'est pas correctement adaptée à l'étude.
On choisit de faire les calculs avec un pas Dt = 5 min.

AEuler(5)= A0(1-3,4 10-2*5)=0,83 A0= 0,83*3,00 108 = 2,49108 Bq.

Athéorique(10)= A0exp(-10l)=3,00 108 exp(-3,4*0,1)=2,14 108 Bq.

date (min)
AEuler (Bq)
Athéorique (Bq)
0
3,00 108
3,00 108
5
2,49108
2,53 108
10
2,07 108
2,14 108
15
1,72 108
1,80 108
On considérera que le choix de Dt est pertinent si l'écart relatif entre A Euler et A théorique est inférieur à 5%.

Le plus grand écart est : 0,08/100 / 1,8 = 4,4%

La valeur proposée pour Dt est donc correctement adaptée.



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