Aurélie juin 05

Jeu de fète foraine ; détermination d'une constante d'équilibre

sonde thermique d'après bac Antilles 2005 (sans calculatrice)

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Jeu de fète foraine: 5,5 points .

Le but du jeu est d'envoyer une bille d'acier dans un trou. Pour lancer la bille, le joueur comprime un ressort, à spires non jointives, qui va la propulser lors de la détente. La bille roule ensuite sur un plan horizontal suivant la droite AC, quitte ce plan pour chuter dans un des trous du sol.

Etudions le mouvement de la bille, objet ponctuel, dans un référentiel terrestre supposé galiléen. On néglige les frottements.

g= 10 m/s² ; masse de la bille m= 10 g ; constante de raideur du ressort : k= 25 N/m ; masse du ressort négligeable devant la masse de la bille.

1. Propulsion de la bille : initialement le ressort est au repos. Le joueur tire la poignée ( compression du ressort) et la bloque avec la gachette. Il place la bille contre le cylindre en A', abscisse xA'= - 10 cm sur l'axe (Ox).

  1. Exprimer puis calculer l'énergie potentielle élastique Epe(A') acquise par le ressort comprimé. Donner sa valeur avec deux chiffres significatifs.
    Le joueur appuie sur la gachette, le ressort se détend et reprend sa position initiale; le cylindre arrête son mouvement sur la butée. La bille reste en contact avec le cylindre pendant la détente jusqu'au point O. La bille se déplaçant sur un plan horizontal, son énergie potentielle de pesanteur est constante et on la prend égale à zéro.
  2. Quelle forme d'énergie acquiert la bille lors de la détente du ressort ? Donner son expression littérale en précisant les unités.
  3. Donner l'expression littérale de l'énergie mécanique du système {ressort-bille}
  4. Que peut-on dire de l'énergie mécanique sachant que les frottements sont négligeables ?
  5. Quelle est la valeur de l'énergie cinétique de la bille arrivée au point O ? Justifier.
  6. Déduire l'expression littérale de la vitesse v. Calculer sa valeur v0 au point O.
    La bille se déplace ensuite jusqu'au point C suivant la droite (OC).
  7. La vitesse de la bille en C est-elle égale à la vitesse v0 ? Justifier.

2. Chute de la bille : la bille quitte à la date t=0 le plan en C avec une vitesse vc = 5,0 m/s et de direction horizontale.

  1. Etablir l'expression vectorielle de l'accélération de la bille à partir du bilan des forces.
  2. Donner les composantes du vecteur accélération dans le repère (D,X,Y)
  3. Etablir les équations horaires littérales X(t) et Y(t) du mouvement.
  4. Déterminer les expressions littérale et numérique de l'équation Y(X) de la trajectoire de la bille.
  5. En déduire l'abscisse du trou dans lequel tombe la bille.

corrigé
Epe(A')= ½kOA'2 avec k= 25 N/m et OA'=0,1 m

Epe(A')=0,5*25*0,01= 0,12 J.

Lors de la détente la bille acquiert de l'énergie cinétique Ec= ½mv² ( Ec en joule, m en kg et v en m/s)

L'énergie mécanique EM du système {bille ressort} se conserve en absence de frottement.

EM = ½kx²+ ½mv² avec x abscisse de A.

En A' l'énergie mécanique est sous forme potentielle élastique EM= ½kOA'2 .

En O l'énergie mécanique est sous forme cinétique ½mv02.

conservation de l'énergie mécanique : ½mv02= ½kOA'2 = 0,12 J

v02= k/m OA'2 ; v0= (k/m )½OA'= (25/0,01)½ *0,1 = 5/0,1*0,1= 5 m/s.


Sur le parcours OC la bille est soumise à son poids et à l'action du support. Ces deux forces perpendiculaires à la vitesse ne travaillent pas. L'énergie cinétique ne varie pas et la valeur de la vitesse est constante vc=v0.

chute libre : la bille n'est soumise qu'à son poids, vertical vers le bas, valeur mg

La seconde loi de Newton conduit à : le vecteur accélération est identique au vecteur champ de pesanteur

Dans le repère proposé : accélération( 0,-g) ; vitesse initiale ( v0; 0) position initiale (0 ; CD)

la vitesse est une primitive de l'accélération : ( v0 ; -gt)

la position est ne primitive de la vitesse : X(t) = v0t ; Y(t) = -½gt²+CD

trajectoire : t= X/v0 ; repport dans Y : Y= -½gX²/v0² + CD

Y= -0,5*10X²/25 + 0,05 = -0,2 X²+0,05.

abscisse du trou où tombe la bille : Y=0 ; 0= -0,2X²+0,05 soit X²= 0,05/0,2 = 0,25 et X= 0,5 m ( trou F).





détermination d'une constante d'équilibre : (6,5 points)

Quelques valeurs numériques : log(2 10-4)= -3,7 ; 2/2,3 = 0,87 ; 2/2,7 = 0,74 ; 2/3 = 0,67 ; 1,25²= 1,56 proche 1,6 ; 4/2,5 = 1,6 ; 5/4 = 1,25 ; 100/1,25 = 80.

1. La transformation chimique étudiée : l'acide éthanoïque CH3-CO2H, ou acide acétique réagit de façon limitée avec l'eau selon: CH3-CO2H (aq) + H2O (l) = CH3-CO2- (aq) + H3O+(aq)

  1. Donner la définition d'une base de Brönsted
  2. Dans l'équation ci-dessus, identifier puis écrire les deux couples acide base mis en jeu.
  3. Exprimer la constante d'équilibre K associée à l'équation de cet équilibre chimique.

2. Etude pHmétrique : une solution d'acide éthanoïque, de concentration molaire initiale c1= 2,7 10-3 mol/L et de volume v1= 100 mL a un pH de 3,70 à 25°C.

  1. Déterminer la quantité de matière initiale d'acide éthanoïque n1.
  2. Compléter le tableau d'avancement en fonction de n1, xmax ou xf. Exprimer puis calculer l'avancement maximale théorique xmax. Justifier

    avancement
    CH3-CO2H (aq)
    + H2O (l)
    = CH3-CO2- (aq)
    + H3O+(aq)
    initial
    x=0

    en excès


    final théorique
    x=xmax



    final
    x=xf



  3. Déduire de la valeur du pH, la concentration molaire finale en ions oxonium de la solution d'acide éthanoïque. Exprimer puis calculer l'avancement final expérimental de la réaction noté xf.
  4. Donner l'expression littérale du taux d'avancement t1 de la réaction. Vérifier en posant l'opération que t1 = 7,4 10-2. La transformation étudiée est-elle totale ? Justifier.
  5. Exprimer puis calculer la concentration molaire finale en ion éthanoate CH3-CO2-(aq).
    - Exprimer la concentration finale éffective de l'acide éthanoïque. Calculer sa valeur.
  6. Vérifier en posant l'opération que la valeur de la constante d'équilibre K1 associée à l'équation de cet équilibre est égale à 1,6 10-5.

3. Etude conductimétrique : on mesure ensuite, à 25°C, la conductivité d'une solution d'acide éthanoïque de concentration c2 = 1,0 10-1 mol/L. Le conductimètre indique s = 5,00 10-2 S/m.

  1. Citer les espèces ionoiques majoritaires présentes dans cette solution. Donner la relation liant leur concentration molaire.
  2. Donner l'expression littérale de la conductivité s de la solution en fonction des concentrations molaires finales en ion oxonium et éthanoate.
  3. Donner l'expression littérale permettant d'obtenir les concentrations molaires finales ioniques en fonction de s, l H3O+, l CH3-CO2-. Déterminer la valeur de la concentration molaire finale en ion oxonium et éthanoate en mol m-3 puis en mol/L.
    l H3O+= 35,9 10-3 S m² mol-1 ; l CH3-CO2-=4,1 10-3 S m² mol-1 ;
  4. L'expérimentateur affirme que dans le cas présent, la solution d'acide éthanoïque est suffisamment concentrée pour pouvoir faire les approximations suivantes :
    Approximation 1 : la concentration molaire finale en ion éthanoate est négligeable devant la concentration molaire initiale en acide éthanoïque. Ceci se traduit par l'inégalité : [CH3-CO2-]f<C2/50.
    Approximation 2 : la concentration molaire finale en acide acétique est quasiment égale à la concentration molaire initiale en acide acétique[CH3-CO2H]f proche C2.
    - L'approximation 1 est-elle justifiée ?
    - En supposant que l'approximation 2 soit vérifiée, que peut-on dire de la dissociation de l'acide ? En déduire si la transformation chimique est totale, limitée, très limitée ? Justifier.
    - En tenant compte de l'approximation 2, vérifier, en posant l'opération, que la valeur de la constante d'équilibre K2 associée à l'équation de cet équilibre chimique est égale à 1,56 10-5.

4. Comparaison des résultats obtenus : on vient d'étudier deux solutions d'acide éthanoïque de concentrations initiales différentes.

concentration molaire initiale d'acide éthanoïque
constante d'équilibre
taux d'avancement final
étude pHmètrique
C1= 2,7 10-3 mol/L
K1=1,6 10-5
t1= 7,4 10-2
conductimétrie
C2= 1,0 10-1 mol/L
K2=1,56 10-5
t2= 1,25 10-2

  1. La constante d'équilibre dépend-elle de la concentration initiale en acide acétique ? Justifier.
  2. Le taux d'avancement final d'une transformation chimique limitée dépend-il de l'état initial du système chimique ? Justifier à partir du tableau
  3. Un élève propose les deux affirmations suivantes. Préciser si elles sont justes ou fausses et justifier.
    Affirmation 1 : plus l'acide est dissocié, plus le taux d'avancement final est grand.
    Affirmation 2 : plus la solution d'acide éthanoïque est diluée, moins l'acide est dissocié.

corrigé
base : espèce, ion ou molécule susceptible de gagner un proton H+.

couples acide base : CH3-CO2H/ CH3-CO2- et H3O+/H2O

K= [CH3-CO2-]éq [H3O+]éq/ [CH3-CO2H]éq .

n1 (mol) = volume de la solution (L) * concentration (mol/L)= v1c1= 0,1*2,7 10-3 = 2,7 10-4 mol.


avancement
CH3-CO2H (aq)
+ H2O (l)
= CH3-CO2- (aq)
+ H3O+(aq)
initial
x=0
n1
en excès
0
0
final théorique
x=xmax
n1-xmax
xmax
xmax
final
x=xf
n1-xf
xf
xf
CH3-CO2H en défaut soit n1-xmax = 0 ; xmax = n1= 2,7 10-4 mol.

[H3O+] = 10-pH= 10-3,7 = 2 10-4 mol/L.

xf = n(H3O+)f=[H3O+]éq v1 =2 10-4*0,1 = 2 10-5 mol.

t1 =xf /xmax =2 10-5/2,7 10-4=0,2/2,7 = 2 / 2,7 *0,1 = 0,74*0,1= 2,74 10-2.

t1 = est bien inférieur à 1, la transformation est limitée.

[CH3-CO2-]éq= [H3O+]éq=xf /v1 =2 10-4 mol/L.

[CH3-CO2H]éq =(n1-xf) //v1 = (2,7 10-4 - 2 10-5)/0,1 =2,5 10-4 / 0,1 =2,5 10-3 mol/L.

K1=2 10-4 *2 10-4 /2,5 10-3 =4 10-5 / 2,5 =1,6 10-5.


H3O+ et CH3-CO2- sont majoritaire ; HO- minoritaire à pH 3,7.

La solution est électriquement neutre :[CH3-CO2-]éq= [H3O+]éq.

s = l H3O+[H3O+]éq + l CH3-CO2-[CH3-CO2-]éq=(l H3O+ + l CH3-CO2-)[H3O+]éq.

[H3O+]éq=s /(l H3O+ + l CH3-CO2-)= 5 10-2 / (35,9+4,1)10-3 =50/40 = 5/4 = 1,25 mol m-3 = 1,25 10-3 mol/L.

[CH3-CO2-]éq= 1,25 10-3 mol/L.

c2 =[CH3-CO2H]i = 0,1 ; c2/50 = 0,2/100 = 2 10-3.

1,25 10-3 < 2 10-3 donc approximation 1 vérifiée.

si [CH3-CO2H]éq voisin de c2, l'acide est très peu dissocié ( sa réaction avec l'eau est très limitée)

conservation de l'élément carbone :[CH3-CO2H]éq +[CH3-CO2-]éq=c2.

[CH3-CO2H]éq = c2-[CH3-CO2-]éq=0,1-1,25 10-3 proche 0,1 mol/L

K2=1,25 10-3 *1,25 10-3 /0,1 =1,25² 10-5 =1,56 10-5.


K ne dépend pas de la concentration initiale en acide acétique : c1 est très différent de c2, mais K1 proche K2 ( écart inférieur à 3%)

initialement c1<c2, mais t1> t2 : le taux d'avancement final dépend de l'état initial ; t croît si la concentration diminue

affirmation 1 : vraie: t =xf /xmax et xf =[H3O+]éq.

plus l'acide est dissocié, plus [H3O+]éq donc xf est grand. A xmax identique, plus xf est grand, plus t est grand.

affirmation 2 : faux : en diluant ( ajout d'eau), on déplace l'équilibre CH3-CO2H (aq) + H2O (l) = CH3-CO2- (aq) + H3O+(aq) dans le sens direct, dissociation de l'acide.



sonde thermique ( 4 points)

On peut constituer une sonde thermique à l'aide d'un dipôle RC série. On réalise le circuit suivant :

Le condensateur a une capacité C= 1 mF. Le conducteur ohmique est une thermistance : la valeur R de la résistance dépend de la température. On le place dans une enceinte dont la température interne est notée q.

Un système d'acquisition permet d'enregistrer l'évolution au cours du temps de la tension uc aux bornes du condensateur.

aide : 0,63*4 = 2,5 ; 0,37*4=1,5 ;

1. étalonage de la sonde : on souhaite tracer la courbe de l'évolution de la valeur de la résistance de la thermistance en fonction de la température. Le condensateur est initialement déchargé et les deux interrupteurs K1 et K2 sont ouverts. A t=0 on ferme K1 et on enregistre l'évolution de la tension uc jusqu'à la fin de la charge du condensateur. Ensuite on ouvre K1 et on ferme K2 : le condensateur se décharge complètement. On ouvre enfin K2.

On modifie la température de l'enceinte et on recommence le protocole précédent. On opère pour plusieurs valeurs de température et on obtient les courbes suivantes :

  1. Etablir la relation entre la tension E aux bornes du générateur, la tension uR aux bornes du conducteur ohmique et la tension uc aux bornes du condensateur.
  2. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par la tension uc pendant la phase de charge.
  3. La solution analytique de cette équation est de la forme uc=A+Bexp(-t/(RC)). En tenant compte des conditions finales de la charge, déterminer A.
    - En tenant compte des conditionsinitiales de la charge, déterminer B.
    - Déduire l'expression de uc.
  4. On donne l'expression de la constante de temps t du dipôle t =RC. Vérifier par analyse dimensionnelle l'homogénéité de cette formule.
    - Déterminer la valeur
    t1 de la constante de temps, relative à la température q 1=20°C à partir du graphe. Expliquer la méthode utilisée.
    - En déduire la valeur R1 de la résistance correspondante.
    - Procéder de la même manière pour les autres températures et compléter le tableau suivant :
    température q °C
    20
    25
    30
    35
    40
    45
    50
    55
    60
    constante de temps t (ms)

    xxxx

    xxxx

    xxxx

    xxxx

    résistance R ( kW)

    1,07

    0,74

    0,49

    0,34


    - Tracer la courbe d'étalonage R=f(
    q). Echelle 1 cm pour 5°C et 1 cm pour 100 ohms.

2. Mesure d'une température : Essayons la sonde thermique en la plaçant dans une enceinte de température interne q à déterminer. On mesure la résistance de la thermistance à l'aide d'un ohmmètre et l'on obtient R= 0,5 kW. A partir de la courbe d'étalonage déterminer la température de l'enceinte.

 


corrigé
la loi d'additivité des tensions s'écrit: E = uR + uC (1)

Loi d'Ohm pour un résistor : uR = Ri avec i = dq/dt et q =Cuc soit i = Cduc/dt

uR = RC duc/dt

repport dans l'expression (1) : E = RCduc/dt + uc

équation différentielle relative à uc : duc/dt + uc /(RC)= E/(RC).

uc=A+Bexp(-t/(RC))

Le condensateur est complètement chargé quand t tend vers l'infini, en conséqience uc = E.

exp(-t/(RC)) tend vers zéro et on en déduit que A= E.

A l'instant t = 0, le condensateur est déchargé, en conséquence uc = 0

0 = E + B = E + B d'où B = - E.

uc=E(1-exp(-t/(RC))).

t = RC est homogène à un temps:

R résistance (ohm) = tension (volt) / intensité (ampère) soit [U][I]-1.

C : capacité (farad)= charge (coulomb)/tension (volt) = intensité (A)*temps (s) / tension (V) soit [I][T][U]-1.

RC : [U][A]-1 [I][T][U]-1 soit [T]

E=4 V et t1 correspond à l'abscisse du point d'ordonnée 0,63*E = 0,63*4=2,5 V

t1= 1,3 ms = 1,3 10-3 s.

R1= t1/C= 1,3 10-3 / 10-6 = 1,3 kW.

température q °C
20
25
30
35
40
45
50
55
60
constante de temps t (ms)
1,3
xxxx
0,9
xxxx
0,6
xxxx
0,4
xxxx
0,3
résistance R ( kW)
1,3
1,07
0,9
0,74
0,6
0,49
0,4
0,34
0,3



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