Aurélie sept 04

explosimètre - fibre optique

d'après BTS chimiste 03

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explosimètre

Un explosimètre a pour but d’estimer le danger d’explosivité d’une atmosphère polluée en gaz inflammable. On provoque dans une enceinte calorifugée contenant un volume donné d’un échantillon de l’atmosphère à analyser l’oxydation catalytique du gaz. L’élévation de température Dq qui en résulte est mesurée à partir de la variation de résistance électrique de l’élément détecteur RD placé dans un pont de Wheatstone (circuitCADB) selon la figure 1 ci-dessous :

 

On procède à l’équilibrage du pont en présence d’air pur à 20,0 °C.

  1. Établir la relation liant alors R1, R2, R3 et RD quand le pont est équilibré (c'est à dire lorsque UAB =0). Que devient cette relation si R2 = R3 = R ? (on gardera cette égalité dans le reste du problème)
  2. En présence d’atmosphère polluée, la température de l’élément détecteur varie, sa résistance devient RD + DR. Montrer que la tension de déséquilibre UAB du pont peut alors se mettre sous la forme :
  3. Montrer que si DR est négligeable devant R, UAB est proportionnelle à DR.
  4. L’élément détecteur est un filament métallique dont la résistance est une fonction affine de la température q exprimée en °C : RD = R0(1 + aq ) Montrer que UAB est proportionnelle à la variation de température Dq.
  5. Application numérique : R = 100 W ; Dq = 20,0 °C; a = 1,05 10-3 °C-1 ; R0 = 13,4 W ; E = 15,0 V
    Calculer DR et vérifier que D R est bien négligeable devant R. En déduire la valeur de UAB.
  6. L’explosimètre doit fonctionner pour des atmosphères susceptibles de contenir les combustibles les plus courants. Il est cependant étalonné de telle façon que la tension UAB de 100 mV soit obtenue lorsqu’on atteint la limite inférieure d’explosivité (LIE) du méthane. La figure 2 donne les quantités de chaleur dégagée par l’oxydation d’un même volume d’atmosphère polluée en fonction du % de LIE (rapport du pourcentage volumique de combustible dans l’air sur la LIE) pour plusieurs combustibles susceptibles de constituer l’atmosphère (il y a risque d’explosion quand on a 100 % de LIE de l’un des gaz).

     

  7. L'oxydation catalytique des combustibles présents dans l'atmosphère étudiée produit une quantité de chaleur Q. Exprimer la quantité de chaleur Q dégagée par l’oxydation catalytique en fonction de Dq et de la capacité thermique C de l’enceinte calorifugée de détection et de ses accessoires. En déduire qu’elle est proportionnelle à UAB.
    - À partir de quelle valeur de UAB l’explosimètre doit-il signaler un danger potentiel s'il est utilisé avec la propanone

corrigé
uAB= uAC+uCB=0 soit -uAC= uCBsoit uCA= uCB

R1I1=RDI2 soit : I1/I2= RD/ R1

uAB= uAD+uDB=0 soit uAD= -uDBsoit uAD= uBD

R3I1=R2I2 soit : I1/I2= R2/ R3

d'où : RD/ R1= R2/ R3 ; RDR3= R1 R2.

si R2=R3=R alors RD=R1.


uCD= E= (RD+DR+R)I2 = (R1+DR+R)I2 soit I2 = E / (R1+DR+R)

uCD= E= (R1+R)I1 soit I1 = E / (R1+R)

uCD=E= uCA+uAB+uBD= R1I1+uAB+ R2I2= R1I1+uAB+ RI2

soit uAB= E -R1I1-RI2

remplacer I1 et I2 par leurs expressions, mettre E en facteur commun :

uAB= E- R1 E / (R1+R)-RE / (R1+DR+R) = E[ 1-R1 / (R1+R)- R / (R1+DR+R)]

réduire au même dénominateur (R1+R)(R1+DR+R)

uAB=E[ (R1+R)(R1+DR+R) -R1 (R1+DR+R) - R (R1+R) ] / [(R1+R)(R1+DR+R)]

effectuer au numérateur : R1² +R1DR +R1R+RR1+RDR+R² - R1²-R1DR-R1R- R R1-R²= RDR

uAB=E RDR / [(R1+R)(R1+DR+R)].

si DR négligeable devant R et R1 alors uAB=E RDR / [(R1+R)2].

uAB=E R / [(R1+R)2] DR ; uAB et DR sont proportionnelles .


RD = R0(1 + aq )

pour une températute q 1=q+Dq, la résisatnce RD prend la valeur : RD +DR

RD +DR = R0(1 + a(q+Dq) )= R0 + R0aq +R0aDq soit DR =R0aDq

autre méthode , dériver RD = R0(1 + aq ) par rapport à q : dRD = R0adq

uAB=E R / [(R1+R)2] R0aDq.

Application numérique :

calcul de R1 = 13,4(1+1,05 10-3*20)=13,68 W.

uAB= 15*100 /(13,68+100)²*13,4*1,05 10-3Dq = 1,63 10-3 Dq

si Dq = 20°C alors uAB= 1,63 10-3 *20 = 33 10-3 = 33 mV.


Q= CDq .

or uAB= 1,63 10-3 Dq d'où Q=C uAB/ 1,63 10-3= 1000C/1,63 uAB ; Q = constante *uAB .

dans le cas du méthane Q=1 pour uAB= 0,1 V ; constante = 1/0,1 = 10.

dans le cas de la propanone : Q=0,78 (lecture graphe pour LIE=100 %)

soit une tension uAB= 0,78 / 10 = 0,078 V = 78 mV.





fibre optique

 

  1. Un prisme a une section principale en forme de triangle isocèle. Il est en verre d'indice n=1,52 et se trouve dans l'air d'indice na.

    Indiquer dans les cas suivants le trajet du rayon lumineux au dela de I :
    - le milieu ambiant est l'air na=1.
    - le milieu ambiant est l'eau ne= 1,33.

  2. Une fibre optique à sauts d'indice est constituée :
    - D'un coeur, de rayon a et d'indice de réfraction nc.
    - D'une gaine de rayon b et d'indice de réfraction ng.
    La fibre est placée dans l'air.

    - Indiquer la condition à laquelle doit satisfaire l'angle i pour que le rayon soit totalement réfléchie en J.
    - En déduire que l'angle q doit rester inférieur à une valeur limite q 1. Montrer que la relation suivante est vérifiée :
    sin2q 1=nc2-ng2.
    - Calculer q 1 si nc=1,5 et ng= 0,99 nc.

  3. Deux fibres optiques semblables à celle de la question ci-dessus sont aboutées à la base BC du prisme de la question 1. La fibre 1 conduit la lumière d'une source lumineuse jusqu'au prisme. La fibre 2 conduit la lumière qui sort du prisme jusqu'à un détecteur. La distance entre les axes des deux fibres est e= 10 mm. CD= 0,25 BC.
    Le dispositif est progressivement enfoncé dans un liquide d'indice na=1,33 situé dans une cuve.

- Préciser sur un schéma le trajet du rayon lumineux après le point I tant que le niveau du liquide n'atteint pas le point I.
- Expliquer ce qui se passe lorsque le niveau du liquide atteint le point I.
- Calculer la profondeur à laquelle est enfoncé le prime dans le liquide lorsque le niveau du liquide atteint le point I.
- Indiquer une utilisation possible d'un tel dispositif.


corrigé
calcul de l'angle limite d'incidence au delà duquel il y a réflexion totale :

interface verre-air : 1,52 sin i1lim= 1 soit sin i1lim=1/1,52 = 0,658 ; i1lim=41,1°

or l'angle d'incidence i1=45 °, valeur supérieure à 41,1 °donc il y a réflexion totale en I.

interface verre-eau : 1,52 sin i1lim= 1,33 soit sin i1lim=1,33/1,52 = 0,875 ; i1lim=61,1°

or l'angle d'incidence i1=45 °,valeur inférieure à 61°, donc le rayon réfracté ( transmis dans l'eau) existe en I

calcul de i2 : 1,52 sin 45 = 1,33 sin i2 ; sin i2 =0,808 ; i2 =53,9°

calcul de l'angle limite d'incidence au delà duquel il y a réflexion totale en J

interface coeur-gaine: nc sin ilim= ng soit sin ilim= ng/nc = 0,99 ; ilim=81,89°

si i<ilim il y a réflexion totale en J.

en O, interface air-coeur : sin q1 = nc sin alim avec alim + ilim= 90° donc sin alim = cos ilim

cos2 ilim = 1-sin2 ilim= 1-(ng/nc)2.

sin 2 q1 = nc2 sin2 alim d'où sin 2 q1 = nc2 [1-(ng/nc)2] ; sin 2 q1 = nc2 -ng2.

sin 2 q1 = nc2 [1-0,992]=0,0199 nc2 ; prendre la racine carrée

sin q1 =0,141 nc = 0,141*1,5 = 0,2116 ; q1 =12,21°.


Lorsque le liquide atteint le point I, le faisceau incident se partage en deux parties : un rayon réfléchi ( figure ci-dessus) et un rayon transmis dans le liquide (eau). Le détecteur situé à l'extrémité de la fibre 2 reçoit donc beaucoup moins d'énergie lumineuse que dans le cas de la réflexion totale.

profondeur à laquelle est enfoncé le prisme dans l'eau : x= 0,25 BC

0,5 BC=e=10 mm ; x= 5 mm.

Un tel dispositif permet de déclencher une alerte lorsque la montée d'un liquide atteint un niveau qui peut devenir dangereux.

ou bien dans le cas de descente du liquide, indiquer le volume minimale de liquide à partir duquel il faut remplir la cuve.



La fibre optique

La fibre optique étudiée ici peut être considérée comme constituée par un coeur cylindrique en matériau très transparent, le silicium, d'indice de réfraction n1 = 1,454, entouré d'une gaine concentrique au coeur, en silicium dopé, transparente elle aussi, d'indice de réfraction n2 = 1,460 . Un revêtement plastique protège l'ensemble.

Un rayon R, injecté en 0 dans le coeur de la fibre, demeure prisonnier du coeur si son angle d'incidence i est bien choisi. on note r l'angle sortant du coeur de la gaine ( i,r) et on note r' l'angle incident à l'interface coeur gaine ( r + r'= 90 degrés)

  1. Quel est le nom du phénomène qui doit se produire à l'interface coeur-gaine si on veut que R demeure dans le coeur de la fibre ?
  2. A quelle relation l'angle r' doit-il alors satisfaire ? Application numérique : calculer la valeur limite de r' convenant.
  3. Ecrire, en les justifiant, les relations liant les angles r et r' d'une part, i et r d'autre part. On notera na, l'indice de réfraction de l'air. En déduire que R reste dans le coeur de la fibre, si : na sin i < (n22 - n12)½. Application numérique : Calculer l'angle d'injection maximum im. On donne : na = 1,000.
  4. La fibre est légèrement absorbante. La puissance absorbée par une tranche de longueur dx de fibre est proportionnelle à l'épaisseur dx de cette tranche et à la puissance P(x) du faisceau à l'entrée de celle-ci . On peut donc écrire : dP = aP(x).dx avec a qui est une constante caractéristique de la fibre pour la longueur d'onde utilisée.
    - Démontrer que le produit 10.Lg(P(0) / P(x ))est proportionnel à x, distance parcourue par le faisceau dans le coeur de la fibre. On notera A le coefficient de proportionnalité ?
    - le produit 10.Lg(P(0)/P(x)) s'exprime en "décibels" (dB). Le constructeur de la fibre indique pour celle-ci un coefficient d'atténuation b = 0,4 dB/km. Quelle est la puissance du faisceau lumineux après un parcours de 100 km à l'intérieur de la fibre ? La puissance injectée à l'entrée de la fibre est P(0) = 10-6 Watt et on néglige les pertes à l'entrée et à la sortie de la fibre.

corrigé
à l'interface coeur-gaine : réflexion totale

en J écrire la loi de Descartes pour la réfraction : n2 sin r' limite = n1 sin 90 = n1

r' limite = sin -1 ( n1/n2) = sin -1(1,454/1,460 )= sin -1(0,9958)

r' limite = 84 ,8°.

r+ r'=90 donc sin r = cos r'

sin² r' + cos² r' = 1 soit cos² r' = 1-sin² r'= 1-(n1²/n2²) pour l'angle limite

cos r ' = racine carrée [1-(n1²/n2²)] = racine carrée [(n2²-n1²)/n2²)] = 1/n2 racine carrée (n2²-n1²)

en O loi de Descartes pour la réfraction : na sin i = n2 sin r = n2 cos r'

na sin i <= n2 *1/n2 racine carrée (n2²-n1²) = racine carrée (n2²-n1²)

application numérique : sin i m = (1,46²-1,454²)½ =0,132 ; im = sin-1 (0,132 ) = 7,6 °.


dP/P = a dx

par intégration [1/P]PoP =a [x]0x ; ln P-ln P0 = a x ; ln (P/P0 )= a x

ln : logaritme népérien = 2,3 * log décimal

2,3 log( P/P0 )= a x ; 2,3*10 log( P/P0 )= 10 a x ; 10 log( P/P0 )= 10/2,3 a x = A x

atténuation au bout de 100 km : 0,4*100 = 40 dB

10 log ( P/P0 ) = - 40 ; signe moins car diminution de 40 dB

log( P/P0 ) = -4 ; P/P0 = 10-4 ; P= P0 10-4 = 10-6*10-4 = 10-10 W.


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