Aurélie juin 04

Tir au pigeon - datation au carbone 14 - pile et électrolyse avec le cuivre

d'après bac Maroc 2004

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tir au pigeon :

Le pigeon de masse mP=0,1 kg, assimilé à un point matériel M est lancé avec une vitesse initiale vP0=30 m/s, faisant un angle de 45° avec l'horizontale. Le tireur situé en A tire verticalement une balle de masse mB= 0,02 kg avec une vitesse initiale vB0= 500 m/s. La balle assimilée à un point matériel B part du point A tel que OA= 45 m. On donne g= 10 m/s².

  1. On note t le temps associé au mouvement du pigeon. 0 l'origine du mouvement t=0. On néglige les frottements. Etablir l'expression de son accélération à partir du bilan des forces.
    - Donner les composantes de l'accélération dans le repère (O, x, y)
    - Etablir les composantes du vecteur vitesse puis celles du vecteur position.
  2. Quelle est l'abscisse xC du point d'impact C du pigeon et de la balle ?
    - Vérifier à partir de l'abscisse xC de l'impact que le temps de "vol" du pigeon d'argile est Dt= 2,1 s.
    - On néglige toutes les forces et on note t' le temps correspondant au mouvement de la balle.
    Que peut-on dire de son accélération ? Que peut-on dire de sa vitesse vB ? Déterminer alors cette vitesse vB.
    - Calculer le temps de "vol" D t' de la balle jusqu'à l'impact connaissant l'ordonnée du point d'impact yC= 22 m.
    - Comparer D t et D t' et expliquer pourquoi le tireur peut viser directement le pigeon.
  3. Dans cette partie l'effet du poids de la balle n'est plus négligé mais on négligera toujours la force de frottement de l'air.
    - Etablir que la composante de la vitesse dans lme repère (O, x, y) vérifie la relation vB(t') = vB0-gt'.
    - Calculer la vitesse à la date t'= 0,044 s. Justifier pourquoi on a négligé le poids dans la partie précédente.

corrigé
référentiel terrestre supposé galiléen ; systèmé étudié : le pigeon

Le pigeon est soumis uniquement à son poids et en conséquence d'après la seconde loi de Newton, l'accélération est égale au vecteur g, verticale, orienté vers le bas.

Le vecteur vitesse est une primitive du vecteur accélération ; le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse. On obtient la trajectoire en éliminant le temps.


La trajectoire de la balle est la verticale passant par l'abscisse xC= 45 m et le point d'impact C est l'intersection de cette droite avec la parabole précédente.

xC= vP0 cos a tC soit tC= xC/ (vP0 cos a ) = 45/(30*0,707)=2,12 s.

la durée de vol est Dt = tC-t0 = 2,12 s.


On néglige les forces s'exerçant sur la balle: le thèorème du centre d'inertie conduit à une accélération nulle. Le mouvement de la balle est rectiligne uniforme, suivant la verticale, à la vitesse constante vB0=500 m/s.

durée du vol de la balle : Dt' = yC/vB0= 22/500 = 0,044s.

cette valeur est très inférieure à Dt, durée de vol du pigeon et en conséquence le tireur peut viser directement le pigeon passant à sa verticale


Si on ne néglige pas le poids de la balle, l'accélération de celle-ci est verticale vers le bas , de valeur g = 10 m/s².soit dans le repère d'étude ay = -10 m/s² ; ax=0.

La vitesse est une primitive de l'accélération : vBy= vB0-gt' et vBx=0.

valeur de la vitesse à la date t'=0,044 s : 500-10*0,044 = 500-0,44 = 499,56m/s.

la vitesse de la balle varie très peu pendant le tir sur la distance de 22 m : on peut donc considérer la vitesse de la balle comme constante pendant la durée Dt=0,044 s.





Etude du carbone 14.

Dans la nature le carbone 14 existe sous forme de deux noyaux isotopes 126C et 146C. Dans la haute atmosphère un neutron formé par l'action des rayons cosmiques bombarde un noyau d'azote 14 ( Z=7) qui se transforme en carbone 14 radioactif b- avec émission d'une autre particule.

  1. Le symbole d'un noyau se note AZX. Donner le nom des grandeurs représentées par les lettres A, Z ainsi que leur signification.
    - Donner la composition du noyau de carbone 14.
    - Définir les termes isotope et "radioactif"
  2. Ecrire l'équation de la réaction nucléaire correspondant à la formation du carbone 14. Identifier la particule émise.
  3. Ecrire l'équation de désintégration du carbone 14.
  4. Le temps de demi vie du carbone 14 est 5570 ans. Qu'appelle-t-on temps de demi vie?
  5. La loi de décroissance radioactive en fonction du temps est du type : N(t) = N0 exp(-lt)
    - Que représente des grandeurs physiques N(t), N0 et l.
    - Sachant quel = ln2 / t½, déterminer l'unité de l par analyse dimensionnelle.
    - Calculer l.

Application à la datation :

En 1983 fut découverte l'épave d'un drakkar dans la vase du port de Roskilde. Pour valider l'hypothèse indiquant que ce navire est d'origine Viking, une datation au carbone 14 est réalisée sur un échantillon de bois. L'activité d'un échantillon A(t) est de 12 désintégrations par minute et par gramme de carbone. Or l'activité pour 1 g de carbone participant au cycle du dioxyde de carbone de l'atmosphère est égale à A0= 13,6 désintégrations par minute.

  1. Justifier la décroissance de l'activité d'un échantillon de bois au cours du temps.
    - Sachant que la loi de décroissance de l'activité en fonction du temps s'écrit : A(t) = A0 exp(-lt) exprimer le temps en fonction des autres grandeurs A(t), A0 et l. Calculer t.
    - Le temps t correspond au temps écoulé entre la date de fabrication du bateau et la date de découverte de l'épave. déterminer l'année de construction du navire.
    - La période Vicking s'étend du VIIIème siècle au XIème siècle ( entre 700 et 1000 ans). L'hypothèse faite est-elle vérifiée ?

corrigé
A : nombre de masse ou nombre de nucléons du noyau.

Z : numéro atomique ou nombre de charges ou nombre de protons du noyau.

Le noyau de carbone 14 compte Z=6 protons et A= 14 nucléons : soit A-Z= 8 neutrons.

Deux noyaux isotopes ne différent que par leur nombre de neutrons.

Le noyau du carbone 14 est radioactif : il se transforme spontanément au cours du temps en émettant une particule et un rayonnement.


formation du carbone 14 : 147N + 10n = 146C + 11H

conservation du nombre de nucléons : 14+1 = 14 +A d'où A= 1

conservation de la charge : 7+0 = 6 + Z doù Z= 1 ( élément hydrogène)

désintégration du carbone 14 : 146C = 147N + 0-1e

temps de demi vie ou période : durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés.

N(t) = N0 exp(-lt)

avec N(t) : nombre de noyaux présents à la date t ; N0 : nombre de noyaux initiaux à a date t=0 ; l constante radioactive.

ln 2 est un nombre sans dimension, la constante radioactive est donc l'inverse d'un temps. t1/2 s'exprime en année, l s'exprimera en année-1.

l = ln 2 / 5570 =1,244 10-4 an-1.

ou encore 1,244 10-4 / (365*24*3600) =3,94 10-12 s-1.


Tant que la matière est vivante, les échanges de l'organisme animal ou végétal impliquant le dioxyde de carbone atmosphèrique font que le rapport N(146C) / N(126C) est constant. A la mort de l'être vivant, la fin des échanges entraîne la décroissance de ce rapport.

A(t) = A0 exp(-lt) soit ln[A/A0]= -lt ou ln[A0/A]= lt

t = 1/l ln[A0/A] = 1/1,244 10-4 ln (13,6 /12) = 1005 ans.

année de construction du bateau :1983 - 1005 = 978.

L'hypothèse précédente est bien vérifiée. L'an 978 se situe dans l'intervalle : [700 ; 1000] ans.



pile et électrolyse

Cu : 63,5 g/mol ; e= 1,6 10-19 C ; NA= 6,02 1023 mol-1 ; F= 96500 C.

  1. Pile de concentration : on considère une pile constituéede deux électrodes de cuivre plongeant dans des solutions de sulfate de cuivre de concentrations différentes. Chaque volume de solution est V= 100 mL et la concentration initiale en ion cuivre II est [Cu2+]1 = 1 mol/L et [Cu2+]1 = 0,01 mol/L
    - Ecrire les demi-équations des réactions se produisant aux électrodes en accord avec la polarité donnée sur la figure. Donner le nom de chaque demi-réaction.

    - Ecrire l'équation de la réaction s'effectuant dans la pile. Pour la réaction considérée la constante d'équilibre vaut K=1.
    - Calculer la valeur du quotient initial Qr, i . Cette valeur est-elle cohérente avec la polarité proposée ?
    - On fait débiter la pile dans un conducteur ohmique et dans un ampèremètre. Compléter le schéma ci-dessus. Indiquer par des flèches le sens de déplacement des électrons et le sens conventionnel du courant.
    - Que peut-on dire des concentrations finales quand l'équilibre est atteint ?

  2. Dépôt de cuivre par électrolyse : on remplace une électrode de cuivre par une bague en métal que l'on veut recouvrir de cuivre.
    - Quel appareil faut-il ajouter au montage précédent pour réaliser ce dépôt ?
    - Ecrire les demi-équations aux électrodes en justifiant.
    - En déduire le sens des électrons, le sens du courant et la polarité dans le montage.
    - L'électrolyse fonctionne pendant une heure à une intensité I= 400 mA. Déterminer la quantité d'électricité correspondante notée Q et en déduire la quantité de matière d'électrons, notée ne qui a circulé pendant cette durée.
    - Quelle relation existe-t-il entre la quantité de matière de cuivre qui a disparu et la quantité de matière d'électrons ? En déduire la masse de cuivre correspondante.
  3. Déterminer la concentration en ion cuivre II :
    On considère la réaction de précipitation suivante 2Cu2+ + 4I- = 2CuI(s) + I2.
    - Etablir le tableau d'avancement ( les ions iodures sont en excès et on note n0 la quantité initiale de Cu2+, et n1 la quantité de diiode formé) puis établir la relation entre n0 et n1.
    - On dose le diiode formé par la réaction de dosage : I2 + 2 S2O32- = 2I- + S4O62-. Comment repère-t-on l'équivalence ? Quelle relation existe-t-il entre n(S2O32- ) introduit à l'équivalence et n1 ?
    - Le volume versé à l'équivalence est Véq= 10 mL. Sachant que la concentration des ions thiosulfate est 0,1 mol/L, en déduire n1. Calculer n0. En déduire la concentration C0 des ions cuivre II dans les 100 mL de solution. 

corrigé
à l'anode négative, oxydation du cuivre métal de l'électrode : Cu(s)2 = Cu2+ (2) + 2e-.

à la cathode positive, réduction des ions cuivre II : Cu2+ (1) + 2e- = Cu(s)1

bilan : Cu(s)2 +Cu2+ (1) = Cu2+ (2) + Cu(s)1

quotient initial Qr, i =[Cu2+ (2)] / [Cu2+ (1)]= 0,01 / 1 = 0,01

Qr, i < K donc évolution spontanée dans le sens direct, cohérent avec la polarité proposée.

A l'état d'équilibre : Qr, éq = K =1 d'où [Cu2+ (2)]éq = [Cu2+ (1)]éq

A l'état d'équilibre, les concentrations en ions cuivre (II) dans les deux compartiments sont égales.


Le générateur force la réaction à évoluer en sens inverse.

à l'anode positive, oxydation du cuivre métal de l'électrode : Cu(s)1 = Cu2+ (1) + 2e-.

à la cathode négattive, réduction des ions cuivre II : Cu2+ (2) + 2e- = Cu(s)2

bilan : Cu(s)1 +Cu2+ (2) = Cu2+ (1) + Cu(s)2

Quantité d'électricité : Q = I Dt = 0,4*3600 = 1440 C

La charge d'une mole d'électrons est, en valeur absolue égale à 96 500 C

Qté de matière d'électrons : 1440/96500 = 0,015 mol.

d'après Cu(s)1 = Cu2+ (1) + 2e- on déduit la qté de matière de cuivre : nCu= ½ne = ½*0,015 = 0,0075 mol Cu(s)

soit en masse : 63,5*0,0075 = 0,47 g.



2Cu2+
+ 4I-
= 2CuI(s)
+ I2.
initial
n0
excés
0
0
en cours
n0-2x
2x
x
final
n0-2xf=0

xf = ½n0

2xf=n0
xf = ½n0
xf =n1= ½n0

I2 + 2 S2O32- = 2I- + S4O62-.

On ajoute quelques gouttes d'empois d'amidon dans le bécher contenant le diiode à doser. L'empois d'amidon est bleu foncé en présence de diiode ( ce dernier est en excès avant l'équivalence). Après l'équivalence le diiode est en défaut et l'empois d'amidon devient incolore.

A l'équivalence, d'après les coefficients de l'équation de dosage : n(S2O32- ) versé = 2n1

n(S2O32- ) versé = volume (L) * concentration (mol/L) = 0,01*0,1 = 10-3 mol.

n1 = 5 10-4 mol ;

or n0 = 2n1 = 10-3 mol dans un volume V= 0,1 L

C0=[Cu2+]= 10-3 / 0,1 = 10-2 mol/L.



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