Aurélie jan 04

chute libre et parachutisme - fabrication et titrage de l'aspirine - lampe à vapeur de sodium

d'après bac S Pondichéry 2004

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chute libre et parachutisme (6 points)

  1. Début du saut : le système constitué par le parachutiste et son équipement subit de la part de la terre une force de gravitation F. Exprimer littéralement la valeur de cette force en fonction de la constante de gravitation G, de la masse de la terre Mt, du rayon terrestre Rt et de l'altitude h.
    - On assimile le poids à la force de gravitation. En déduire l'expression littérale de l'intensité de la pesanteur g à l'altitude h.
    - Calculer g si h=40 km ; Mt= 5,97 1024 kg ; Rt= 6,37 103 km ; G= 6,67 10-11 unité SI.
  2. Au début du saut la presion atmosphérique est très faible et l'action de l'air sur le parachutiste peut être négligée. On admet pour cette question que g est constant et vaut 9,7 m/s². La vitesse initiale est nulle.
    - Qu'appelle-t-on chute libre ?
    - Etablir l'expression de l'accélération du parachutiste lors de cette phase de saut.
    - Etablir l'expression de la vitesse en fonction du temps. Vérifier que la durée de chute t1 permettant d'atteindre la vitesse du son ( 1067 km/h) est voisine de 30 s.
    - Etablir l'expression liant la distance x parcourue à la durée de la chute. Calculer la distance x1 quand la vitesse du son est atteinte. Quelle est l'altitude h1 du parachutiste ?
  3. Les conditions de température :
    - A propos du son le terme célérité est préférable à celui de vitesse. Expliquer.
    - En admettant que la célérité du son est proportionnelle à la racine carrée de la température absolue, déterminer la température q1 de l'atmosphère correspondant à une célérité v1=1067 km/h. Donnée : c=1193 km/h à 0°C

B- le saut classique.

masse du parachutiste et de son équipement m= 80 kg ; le parachutiste s'élance sans vitesse initiale d'une altitude de 1000 m ; le saut se déroule en deux phases.

  1. Le parachute n'est pas déployé et l'action exercée par la terre est modélisée par une force de valeur F= kv² avec k=0,28 unité SI. La poussée d'Archimède est négligeable. g= 9,8 m/s².
    - Déterminer l'unité du coefficient k.
    - Déterminer l'équation différentielle relative à l'évolution de la vitesse.
    - Montrer qu'elle correspond à dv/dt = 9,8-0,0035 v².
    - La courbe d'évolution de la vitesse est représentée ci-dessous :

    Déterminer la vitesse limite et le temps caractéristique de ce mouvement.
    Comment peut-on retrouver une valeur approchée de l'intensité de la pesanteur
    - La courbe précédente a été obtenue par résolution de l'équation différentielle par la méthode itérative d'Euler. Un extrait de la feuille de calculs est représenté ci-dessous.
    temps (s)
    vitesse (m/s)
    acccélération dv/dt (m/s²)
    0
    0
    9,8
    0,1
    0,98
    9,80
    0,2
    1,96
    9,79
    0,3
    2,94
    9,77
    0,4
    3,92
    9,75
    0,5
    4,89
    9,72
    Quel est le pas utilisé ?
    Expliquer la méthode d'Euler en effectuant les calculs de l'accélération à t4= 0,4s et de la vitesse à t5=0,5 s.
    - Sur le document suivant déterminer à quelle date le parachutiste atteindra le sol si le parachute reste fermé.

  2. Le parachutiste déclenche l'ouverture du parachute à l'instant t=12 s. La vitesse diminue et se stabilise en 4 s à la valeur limite de 4,5 m/s.
    - L'ouverture du parachute modifie la force de frottement exercée par l'air qui devient F= k'v². En s'aidant de l'expression littérale de la vitesse limite, déterminer la valeur de k'.
    - Représenter l'évolution de la vitesse au cours du temps ( évolution correspondant à l'ensemble du saut) .

corrigé
force de gravitation F = GMtm/(Rt+h)² = mg soit g = GMt/(Rt+h)²

masse en kg et distance en mètre.

h= 4 104 m ; Mt= 5,97 1024 kg ; Rt= 6,37 106 m ; G= 6,67 10-11

g = 6,67 10-11*5,97 1024 /(6,37 106 +4 104 )² = 9,69 m/s².

chute libre : le solide en chute libre n'est soumis qu'à son poids ; l'accélération de son centre d'inertie est égale à la valeur de g à l'altitude considérée.

On choisit un axe verticale orienté vers le bas ; l'origine est l'altitude de départ du saut.

accélération verticale, vers le bas, valeur g=9,7 m/s²

la vitesse est une primitive de l'accélération : v(t) = gt = 9,7 t ( pas de vitesse initiale)

1067/3,6 = 296,4 m/s

durée t1 = 296,4 / 9,7 = 30,5 s.

distance x parcourue primitive de la vitesse : x=½gt² = 4,85t.

x1 = 4,85*30²=4365 m ; h1 = 40 000-4 365 = 35,6 km.

l'onde sonore ne transporte pas de matière mais seulement de l'énergie d'où le terme célérité à la place du terme vitesse ( le terme vitesse est lié au transport de matière)

1067 km/h = 296,4 m/s ; température T= 273 + q1.

1193 km/h = 331,39 m/s ; température 273 K

331,39 / 296,4 =1,118 = (273 / T)½.

élever au carré 1,25 = 273 / T soit T =273 /1,25 = 218,4 K q1 = 218,4-273 = -54,6°C.


k= force / vitesse 2 = masse fois accélération / vitesse 2 : kg * m s-2 / (ms-1)2 =kg m-1.

suivant un axe verticale orienté vers le bas, l'origine étant au point de départ du saut, la seconde loi de Newton s'écrit :

mg-kv²=mdv/dt ; dv/dt = g-k/m v² avec k/m = 0,28/80 = 3,5 10-3.

la valeur de l'accélération g est donnée par le coefficient directeur de la tangente à l'origine soit environ 53 /5,5 = 9,7 m/s².

méthode d'Euler :

d'une part Dv/Dt= a soit vn+1-vn= a Dt (1) avec Dt = 0,1 s

d'autre part a=Dv/Dt= 9,8-0,0035 v² (2)

v3 = 2,94 m/s ; a3 = 9,77 m/s² (1) donne v4 = v3 + a3Dt = 2,94 + 9,77*0,1 = 3,92 m/s

a4 = 9,8 -0,0035 v²4 =9,8-0,0035*3,92² = 9,746 m/s²

v5 = v4 + a4Dt = 3,92 + 9,746*0,1 = 4,895 m/s.


le parachutiste atteindra le sol (si le parachute reste fermé) environ 23 s après le début du saut.

si la vitesse limite est atteinte : dv/dt =0 soit g-k'/m vl² =0 ou k'= mg/ vl²

k'= 80*9,8/(4,5²) = 38,7 kg m-1.





 Fabrication et titrage de l'aspirine (6 points)

  1. Etude d'une estérification : on considère une réaction d'estérification entre l'acide carboxylique de formule R-COOH et un alcool R'-CH2OH. A l'instant t=0 on mélange 0,2 mol d'acide et 0,2 mol d'alcool en présence d'acide sulfurique et on chauffe à reflux.
    - Ecrire l'équation chimique correspondant à l'estérification.
    - On définit l'avancement x de la réaction par la quantité de matière formé. Etablir le tableau d'avancement et déterminer xmax si la réaction était totale.
    - L'expérience donne un avancement xeq=0,13 mol d'ester. Calculer le rendement de cette réaction.
  2. Synthèse de l'aspirine à partir de l'acide salycilique qui porte le groupe -OH ( fixé sur le cycle benzénique) et qui peut comme un alcool subir une estérification. Pour obtenir un meilleur rendement on utilise l'anhydridre d'acide au lieu de l'acide carboxylique.
    Dans un erlenmeyer on introduit 5 g d'acide salycilique, 7 mL d'anhydride et 5 gouttes d'acide sulfurique. Ce mélange est chauffé à reflux pendant 20 min avec agitation. On ajoute dans l'erlenmeyer 50 mL d'eau distillée froide et on place l'erlenmeyer dans l'eau glacée. L'aspirine formée précipite et est filtrée sur bûchner. On purifie l'aspirine par recristallisation dans un mélange eau-alcool. le produit sec est pesé : m= 4,2 g.
    On note A l'anhydride utilisée.

    - Présicer la formule semi-développée de A et donner son nom
    - Dessiner et légender le montage du chauffage à reflux.
    - Déterminer le réactif limitant.
    - Calculer la masse théorique d'aspirine puis le rendement de cette synthèse.
    masse molaire (g/mol) : acide salycilique 138 ; anhydride A 102 ; aspirine 180 ; densité de A = 1,08.

  3. Titrage de l'aspirine : on prélève 1 g de l'aspirine fabriquée et on effectue un titrage indirect.
    - On réalise l'hydrolyse de l'ester par un excès de soude puis les ions HO- restants sont titrés à l'aide d'une solution d'acide chlorhydrique.
    Dans un erlenmeyer on place 1 g d'aspirine, on ajoute un volume V0 = 20 mL d'une solution d'hydroxyde de sodium de concentration c0= 1 mol/L et 20 mL d'eau. L'ensemble est chauffé à reflux pendant 10 min. L'équation correspondant à la réaction est :

    Après refroidissement le contenu de l'erlenmeyer est versé dans une fiole jaugée de 250 mL. de l'eau distillée est versé jusqu'au trait de jauge : soit S2 la solution obtenue. On prèlève 10 mL de S2 que l'on place dans un bécher. On ajoute quelques gouttes de phénolphtaléine. On effectue un titrage des ions hydroxydes en excès par une solution d'acide chlorhydrique de concentration c1=0,05 mol/L. Le volume versé à l'équivalence est V1= 7,4 mL.
    - Calculer la quantité d'ion hydroxyde ajouté à 1 g d'aspirine.
    - Ecrire l'équation de la réaction du titrage.
    - Calculer la quantité de matière d'ion hydroxyde titrés par l'acide chlorhydrique. En déduire la quantité de matière d'ion hydroxyde en excès.
    - Calculer la masse d'aspirine initialement présente dans 1 g. Comparer la valeur trouvée à la valeur attendue et justifier l'écart.


corrigé
R'-CH2OH + R-COOH = R-COO-CH2-R' + H2O

R'-CH2OH
+ R-COOH
= R-COO-CH2-R'
+ H2O
initial
0,2
0,2
0
0
en cours
0,2-x
0,2-x
x
x
si réaction totale
0,2-xmax=0
0,2-xmax=0
xmax= 0,2 mol
xmax= 0,2 mol
si réaction partielle
0,2-xéq=0,07 mol
0,2-xéq=0,07 mol
xéq =0,13
xéq =0,13
rendement 0,13/0,2*100 = 65 %.

5 : chauffe ballon ; 4 ; ballon ( alcool + anhydride éthanoïque et acide sulfurique) 3 : réfrigérant droit ou colonne Vigreux

2: arrivée de l'eau ; 1 : sortie de l'eau

A est l'anhydride éthanoïque CH3-CO-O-OC-CH3.

Qté de matière initiale :

acide salycilique : 5/138= 0,0362 mol ( en défaut) réactif limitant

anhydride éthanoïque : 7*1,08/102 = 0,0741 mol ( en excès)

on peut espérer obtenir au mieux 0,0362 mol d'aspirine soit une masse : 0,0362*180 = 6,51 g.

rendement =4,2/6,51*100 = 64,5 %.


quantité d'ion hydroxyde ajouté à 1 g d'aspirine : V0c0= 0,02*1 = 0,02 mol

H3O+ + HO- = 2H2O.

quantité de matière d'ion hydroxyde titrés par l'acide chlorhydrique dans 10 mL S2.

V1C1 = 7,5 10-3*0,05 =3,75 10-4 mol

et dans 250 mL de S2 : 25*3,75 10-4 = 9,375 10-3 mol d'ion hydroxyde en excès

Qté d'ion hydroxyde ayant réagi avec l'aspirine : 0,02-9,375 10-3 =1,062 10-2 mol

or une mole d'aspirine réagit avec deux moles d'ions hydroxyde d'où la quantité de matière d'aspirine :

1,062 10-2 / 2 = 5,31 10-3 mol

masse d'aspirine dans 1 g : 5,31 10-3 *180 = 0,956 g.

écart faible : 4,4%, erreurs commises lors de la prise de 10 mL à la pipette ou lecture sur la burette lors du dosage,ou lors de la pesée d'un gramme d'aspirine.



 Lampe à vapeur de sodium ( 4 points)

h= 6,62 10-34 Js ; c= 3 108 m/s ; e= 1,6 10-19 C.

  1. L'analyse du spectre d'émission d'une lampe à vapeur de sodium révèle la présence de raies de longueur d'onde l bien définie.


    - Quelles sont les longueurs d'ondes des raies appartenant au domaine du visible ? au domaine UV ? au domaine IR ?
    - S'agit-il d'une lumière polychromatique ou monochromatique ? Justifier.
    - Quelle est la fréquence de la raie de longueur d'onde
    l= 589 nm ?
    - Que représentent les grandeur h et e ?

  2. - Indiquer l'état fondamental et les états excités.
    - En quoi ce diagramme permet-il de justifier la discontinuité du spectre d'émission.
    - On considère la raie jaune du doublet du sodium de longueur d'onde
    l= 589 nm. Calculer l'énergie DE (en eV) qui correspond à cette radiation et indiquer les niveaux d'énergie correspondant sur le diagramme.
  3. L'atome de sodium considéré à l'état E1 reçoit une radiation lumineuse de quantum D E'= 1,09 eV.
    - Cette radiation peut-elle interagir avec l'atome de sodium à l'état E1. Justifier. Représenter sur le diagramme la transition correspondante par une flèche notée 2.
    - La raie associée à cette transition est-elle une raie d'émission ou d'absorption ? Justifier.

 


corrigé
domaine visible [400 nm ; 800 nm] donc les raies à 568,8 ; 589 ; 589,6 ; 615 nm

IR : raies situées à 819,5 et 1138,2 nm

UV raie à 330,3 nm.

La lumière est polychromatique : on observe plusieures raies ayant des fréquences, donc des couleurs différentes.

fréquence de la raie à 589 nm : f= c/l = 3 108 / 589 10-9 = 5,1 1014 Hz.

h est la constante de Plank et e la charge élémentaire


E0 état fondamental ; tous les autres sont des états excités de l'atome.

les niveaux d'énergie sont discontinus donc spectres de raies d'émission ou d'absorption

D E= hc/l = 6,62 10-34*3 108 /589 10-9 =3,372 10-19 J =3,372 10-19 /1,6 10-19 eV =2,107 eV.

transition du niveau E0 au niveau E1.


-3,03+1,09 = -1,94 eV ( énergie du deuxième niveau excité)

le photon peut interagir avec l'atome si son énergie correspond à la différence d'énergie entre deux niveaux de l'atome

ou bien si le photon est suffisamment énergétique pour ionisé l'atome.

l'atome de sodium gagne de l'énergie, il s'agit d'une absorption

transition du niveau E1 au niveau E2.



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