Mathématiques,chimie, concours technicien de la police technique et scientifique Paris 2023.

Mathématiques
Exercice M1 ( 5 points).
Une étude menée clans la population de Ia ville à la fin de la période hivernale a permis de constater gue :
. 40 % de la population est vaccinée .
8 % des personnes vaccinées ont contracté la grippe ,
20 % de la population a contracté la grippe.
On choisit une personne au hasard dans la populatior le la vilte et on considère tes éléments suivants :
V : " la personne est vaccinée contre la grippe "
G : " la personne a contracté Ia grippe "
1- a) Donnez la probabilité de l'évènement G. Détaillez votre réponse.
b) Construisez un arbre pondéré de la situation.

2- Déterminez la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée.
P( G n V) = 0,4 x0,08 =0,032
3. La personne choisie n'est pas vaccinée. Montrez, en détaillant votre réponse, que la probabilité qu'elle ait
contracté la grippe est égafe à 0,28.
P (G) = 0,20 = 0,032 +0,6x ; x = (0,20-0,032) / 0,6 =0,28.

Exercice M2 ( 4 points)
1. Calculez l'intégrale suivante :

2. Calculez la limite en plus l'infini de l'expression suivante : 1/x²+x².
1/x² tend vers zéro et x² tend vers plus l'infini.
3. Soit la fonction f{x} = 3x³+2x²-3x+1 définie sur R , calculez la fonction dérivée de f(x).
f '(x) = 9x² +4x-3.
4. Soit la fonction g(x) = x(x+1) définie surR calculez ia fsncrion dérivée g'(x) de g(x).
On pose u = x et v = x+1 ; u' =1 ; v' = 1.
u'v+v'u = x+1 +x = 2x+1.

Exercice M3 (5 points)
1- Soit u une fonction dérivable et stricternent positive sur un intervalle J et u' sa dérivée.
La dérivée de la fonction f{x)= ln(u(x)) sur J est :
a) f '{x)= u'(x) / u(x) vrai.
b) f '{x)= u(x) / u'(x).
f '{x)= u'(x) * u(x).
2. Soit a un réel strictement positif et n un entier naturel. ln( a^½n) est égal à (plusieurs solutions possibles} :
a) n+½ln(a) ; b) n ln(a^½) vrai ; c) n+ln(a^½) ; d) ½n ln(a) vrai.
3. Soit la fonction g{x) = xe^x - e^x +1. Calculez la dérivée g'{x) de g(x).
Dérivée de x e^x: u = x ; v = e^x ; u'=1 ; v' = e^x ; u'v+v'u =e^x+xe^x.
g'(x) = e^x+xe^x-e^x =xe^x.
4. soit f une fonction dérivable en 2, le nornbre dérivé de f en 2 est :
a) f(2) ; b) (f(2+h) -f(2)) / h ; limite quand h tend vers zéro de (f(2+h) -f(2)) / h vrai.
5. Soit f(x) = 1/(x+2)² définie sur R-{-2}.
Calculez l'équation de la droite asymptote à la courbe représenrative de f(x).
En plus l'infini et en moins l'infini, f(x) tend vers zéro : l'axe des abscisses y =0 est asymptote.
Quand x tend vers -2, f(x) tend vers plus l'infini ; la droite d'équation x = -2 est asymptote.

Exercice M4 (5 points).
1. Donnez la bonne réponse. Soit n entier naturel non nul, la limite en plus l'infini de l'expression suivante est égale à :

Quand n tend vers plus l'infini, cette expression tend vers zéro. Réponse a.
a) 0 Uj +oo e)-* dlon treraitpas
2. La limite en plus l'infini de l'expression suivante est égale à :
(x²-3x+1) / (x⁹+8x-1).
En plus l'infini cette expression est équivalente à x² / x⁹ = 1 /x⁷.
Elle tend donc vers zéro. Réponse a.
3. Dans les deux cas ci-dessous, u_n est une suite géométrique de prernier terrne u₀ et raison q.
a) §achant que u₀=1 et que q= -4/3, trouvez u₁₈.
u₁₈ = u₀ x q¹⁸=(-4/3)¹⁸ =(4/3)¹⁸ .
b) Sachant que u₂₅ =1 et u₃₁=729, calculez q (2 solutions possibles).
u₂₅ = u₀ x q²⁵=q²⁵ = 1 ; u₃₁ = u₀ x q³¹ = q³¹=q²⁵ x q⁶= 729.
q⁶= 729 ; q² =racine cubique (729) = 9 ; q = ±3.
4. Soit la fonction définie sur R par f{x} =(2+e^x)^½.
a) En plus l'infini, la limite de f(x) est :
0 ; +oo vrai ; -oo ; on ne sait pas.
b. En plus l'infini, la limite de f(x) est :
3^½ ; +oo ; -oo ; 2^½ vrai.
En moins l'infini e^x tend vers zéro.

5. Donnez la b0nne réponse.
Soient ,A ef B deux éiéments tels que p(B) différe de zéro. Exprimez p_B(A) e nfonction de p_A(B).
p_B(A) = p(A n B) / p(B) ; p_A(B) = p(A n B) / p(A) .
p_B(A) =p_A(B)p(A) / p(B). Réponse a.

Chimie
Exercice C1 (1,5 points)
On veut préparer 10 rnL d'une solutisn S₂ à une concentration massique de 10 µg / mL à partir d'une solution S₁ à
une concentration massique de 1 rng / mL
1. Quel volume de S₁ doit-on mesurer ?
1 mg = 1000 µg ; facteur de dilution : 100 ; volume de S₁ à mesurer 10 / 100 = 0,10 mL.
2. Quelle dilution a t-on ef{eetué ?
Facteur de dilution : 100
3. Quelle formule permet de relier la concentration massique Cm et la concentration motaire C d'un composé et
définissez chaque terme supplémentaire ?
Cm = C M avec M masse molaire en g / mol.

Exercice C2 ( 1 point)
Donnez la bonne réponse.
1. L'acétonitrite est un solvant polaire. H₃C--CN. Vrai ( présence du groupe nitrile).
2. L'hexane est un solvant polaire. Faux. ( présence d'une longue chaine carbonée H₃C-(CH₂)₄-CH₃).

Exercice C4(0,5 point)
Quel est Ie pH de l'eau de javel?
12,5 vrai ; 2,2 ; 7,4.

Exercice C5(1,5 point)
1. Un acide est:
a) un accepteur de proton
b) un donneur de proton vrai
c) un accepteur de neutron.

2. Comrnent appelle-t-on une molécule qui peut à la fois jouer le rôle d'une base et le rôle d'un acide ?
a) une rnolécule amphibie
b) une molécule amphotère vrai
c) une molécule réductrice.

3. Quelle est l'équation de réaction entre l'ammoniaque et l'acide éthanoïque?
NH₃ + CH₃COOH --> NH₄⁺ + CH₃COO^- réponse b.

Exercice C5 (1point)
1. Une réaction avec une perte d'électron est une :
a) Réduction ; b) Oxydation vrai ; c) Oxydo-réduction.
Un réducteur cède des électrons, il s'oxyde.
2: Cu²⁺(aq) + 2e^-+ Cu (s) correspond à une :
a) Réduction vrai; b) Oxydation ; c)Oxydo-réduction.
Cu²⁺aq gagne des électrons, c'est un oxydant qui se réduit.