Comment s'entendre le jour de la fête de la musique ?
Combien de temps avant l'hypothermie ? Bac Nlle Calédonie 2023.

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Un groupe de rock anime la place du village. Les haut-parleurs sont modélisés par une source acoustique ponctuelle d'ondes sphériques, de puissance sonore P = 1,0 10-3 W. Une personne se trouve à une distance d = 5,0 m de la source sonore.
1. Calculer l'intensité acoustique I1 reçue par cette personne.
I1 = P / (4pd2) =1,0 10-3 / (4 x3,14 x52)=3,2 10-6 W m-2.
  2. En déduire le nivau d'intensité sonore L1.
L1 = 10 log(I1 / I0) = 10 log(3,2 10-6 / 10-12)=65 dB.
Une autre personne vient à 1 m de la première pour discuter.  Les deux personnes sont à 5 m de la source sonore. La conversation à deux est de niveau d'intensité  sonore moyen Lmoy = 70 dB. Le niveau sonre musical perçu par les deux personnes est L2 = 65 dB..
3. Déterminer le niveau d'intensité sonore maximal Lmax en provenance des haut-parleurs et perçu par les deux personnes pour qu'elles puissent s'enntendre sans être génées par la musique. En déduire si elles peuvent communiquer aisément.
Le son le plus faible ne gène pas l'audition du son le plus fort si les niveaux d'intensité sonores sont séparés de plus de 8 dB.
Lmax = 70 -8 = 62 dB.
  4. Montrer que l'intensité acoustique maximale correspondant à Lmax est Imax = 1,6 10-6 W m-2.
I max= I0 x 10Lmax /10=10-12 x 106,2=1,6 10-6 W m-2.
5. Comme il n'est pas possible de demander aux musiciens de jouer moins fort, les personnes s'éloignent. Justifier  ce choix en indiquant le type d'atténuation d'une onde sonore mis en jeu.
Atténuation géométrique : l'intensité sonore est inversement propotionnelle au carré de la distance à la source.
6. En déduire la distance minimale que doivent parcourir les deux personnes pour tenir un conversation sans être génées ( sans forcer la voix).
I max= P / (4pd2)
d2 = P / ((4pImax) =1,0 10-3 /(4 x3,14 x1,6 10-6)=49,7 ; d =7,1 m.
Les personnes parcourent 2,1 m en s'éloignant de la source sonore.

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 Combien de temps avant l'hypothermie ?
On considère une personne de masse m = 75 kg en maillot de bain dans une eau glacée à qeau = 2,8°C constante.
La température du plongeur notée qint est considérée uniforme, identique en tous points de son corps.
Le corps humain est naturellement réchauffé par l'énergie produite par le métabolisme et représenté par un flux thermique constant de 1,0 107 J par jour.
Les échanges thermiques entre l'eau et le plongeur sont modélisés par la loi : F(t) = h S (qeau-qint).
S = 1,9 m2 surface de contact ; h = 100 W m-2K-1, coefficient de transfert thermique.
Capacité thermique du corps humain C = 3,5 103 J kg-1 K-1.
1. Montrer que la puissance dissipée par le métabolisme à flux constant est Pth = 0,12 kW environ.
1,0 107 / (24 x3600) =116 W ~0,12 kW.
2. Montrer que les échanges thermiques entre le plongeur et son environnement pendant la durée très petite Dt est donnée par Q = PthDt +F(t) Dt.
Energie cédée à l'eau : F(t) Dt.
Energie fournie par le métabolisme : PthDt.
Bilan : Q = PthDt +F(t) Dt.
3. Donner la relation donnant la variation de l'énergie interne du plongeur.
Premier principe de la thermodynamique DU = Q +W.
Le plongeur étant supposé incompressible W = 0.
DU = Q = m C Dqint.
4. Montrer que qint  vérifie l'équation différentielle :d qint / dt + qint / t = qeau / t + Pth / (mC) avec t = mC / (hS)
m C dqint = Pthdt +F(t) dt = Pthdt + h S (qeau-qint) dt.
m C dqint / dt= Pth + h S (qeau-qint).
dqint / dt= Pth / (mC)+ h S / (mC)(qeau-qint).
dqint / dt= Pth / (mC)+ 1 / t (qeau-qint).
dqint / dt+ qint / t = qeau / t + Pth / (mC).
5. Montrer que t s'exprime en seconde et calculer sa valeur.
m s'exprime en kg ; C s'exprime en J kg K-1 ; mC s'exprime en J K-1.
hS s'exprime en W K-1 ou J s-1 K-1.
t = mC / (hS) s'exprime en seconde.
t = 75 x 3,5 103 / 190 =1381 ~1,4 103 s ~0,38 heure.
La solution de l'équation différentielle est qint = 33,6 exp(-t / (1,4 103))+3,42.
6. Déterminer la durée maximale de plongée pour atteindre l'hypothermie grave ( qint < 30°C).
30 =33,6 exp(-t / (1,4 103))+3,42.
26,58=33,6 exp(-t / (1,4 103)).
0,791 =exp(-t / (1,4 103)).
ln(0,791) = -t / (1,4 103) = -0,234 ; t~3,2 102 s.
7. Critiquer ce modèle pour expliquer le reccord de Win Hof ( durée 1 h 53 min)
Le flux thermique du métabolisme n'est pas constant ; la température du plongeur n'est pas uniforme : elle différe en tous points du corps.

  
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