Fonctions, bac Nlle Calédonie 2023. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... On considère la fonction f définie pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f (x) = 5x 2 +2x −2x 2 ln(x). On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal du plan. On admet que f est deux fois dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[. On note f ′ sa dérivée et f ′′ sa dérivée seconde. 1. a. Démontrer que la limite de la fonction f en 0 est égale à 0. La limite en 0+ de 5x 2 +2x  est égale à 0. La limite en 0+ de 2x2ln(x) est égale à zéro par croissance comparée. Par somme des limites, la limite de f(x) en 0+ est égale à 0.  b. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. f(x) = x2 [5+2/x-2 ln(x)]. En +oo : 2 /x tend vers zéro. 5+2/x tend vers 5. ln(x) tend vers +oo et -ln(x) tend vers-oo. Par somme des limites, f(x) tend vers -oo. 2. Déterminer f ′ (x) pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[. Calcul de la dérivée de 2x2 ln(x) en posant u = 2x2 et v = ln(x) ; u' = 4x ; v' = 1/x. u'v+v'u = 4x ln(x) +2x. f '(x) = 10x+2-4x ln(x) -2x=8x +2 -4x ln(x).  3. a. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[ f ′′(x) = 4(1−ln(x)). On dérive 4x ln(x) en posant u = 4x et v = ln(x) ; u' = 4 et v' =1/x. u'v+v'u = 4 ln(x)+4. f "(x)=8-4 ln(x)-4=4(1-ln(x)). b. En déduire le plus grand intervalle sur lequel la courbe Cf est au-dessus de ses tangentes. La courbe Cf est au dessus de ces tangentes si et seulement si  f est convexe, c'est à dire si f "(x) >0. 1-ln(x) >0 ; ln(x) < 1 ; x < e. L'intervalle recherché est : ]0 ; e]. c. Dresser le tableau des variations de la fonction f ′ sur l’intervalle ]0 ; +∞[.  (On admettra que  f ′ (x) = 2 quand x tend vers 0+ et que f ′ (x) tend vers moins l'infini quand x tend vers +oo ).  4. a. Montrer que l’équation f ′ (x) = 0 admet dans l’intervalle ]0 ; +∞[ une unique solution a dont on donnera un encadrement d’amplitude 10−2 . Sur l'intervalle ]0 ; e], f '(x) est strictement croissante et de plus f '(x) > 2. Sur l'intervalle [e ; +oo], f '(x) est strictement décroissante de 4e+2 à -oo. f '(x) est continue car dérivable. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire, l'équation f '(x) = 0 adment une unique solution a sur [e ; +oo[. 7,87 < a < 7,88. b. En déduire le signe de f ′ (x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[ ainsi que le tableau des variations de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.  5. a. En utilisant l’égalité f ′ (a) = 0, démontrer que : ln(a) = (4a+1)/ (2a) . En déduire que f (a) = a 2 +a. f ''(a)=8 a+2-4a ln(a). f '(a) =0 conduit à 8 a+2-4a ln(a)=0. 4a ln(a)=8 a+2. ln(a) = (4a+1)/ (2a). f(a)=5 a2+2a-2a2ln(a)= 5 a2+2a-2a2 x (4a+1)/ (2a). f(a)= 5 a2+2a-a x (4a+1) = 4 a2+a.  b. En déduire un encadrement d’amplitude 10−1 du maximum de la fonction f . 7,87 < a < 7,88. 61,936 9 < a2 < 62,094 4. 69,806 9 < a2 + a < 69,974 4. 69,806 9 < f(a) < 69,974 4. ... .... On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par : f (x) = x e −x . On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. On admet que f est deux fois dérivable sur [0 ; +∞[. On note f ′ sa dérivée et f ′′ sa dérivée seconde. 1. En remarquant que pour tout x dans [0 ; +∞[, on a f (x) = x / e x . démontrer que la courbe Cf possède une asymptote en +∞ dont on donnera une équation. En plus l'infini, par croissance comparée, x / e x tend vers zéro. L'axe des abscisse y = 0 est asymptote à la courbe. 2. Démontrer que pour tout réel x appartenant à [0 ; +∞[ : f ′ (x) = (1− x) e −x . On pose u = x et v = e-x ; u' = 1 v' = - e-x ; u'v+v'u =e-x-x e-x = (1-x)e-x.  3. Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; +∞[ , sur lequel on fera figurer les valeurs aux bornes ainsi que la valeur exacte de l’extremum.  4. Déterminer, sur l’intervalle [0 ; +∞[, le nombre de solutions de l’équation f (x) = 367 /1000 . e-1 ~0,369 > 367 / 1000. Sur l'intervalle [0 ; 1 ], la fonction f est continue et strictement croissantede 0 à e-1. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0,367 admet une unique solution sur cet intervalle. Sur l'intervalle [1 ; +oo [, la fonction f est continue et strictement décroissantede e-1 à 0. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0,367 admet une unique solution sur cet intervalle. Sur l’intervalle [0 ; +∞[, le nombre de solutions de l’équation f (x) = 367 /1000 est égal à 2. . 5. On admet que pour tout x appartenant à [0 ; +∞[ : f ′′(x) = e −x (x −2). Étudier la convexité de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[. 6. Soit a un réel appartenant à [0 ; +∞[ et A le point de la courbe Cf d’abscisse a. On note Ta la tangente à Cf en A. On note Ha le point d’intersection de la droite Ta et de l’axe des ordonnées. On note g(a) l’ordonnée de Ha. La situation est représentée sur la figure. a. Démontrer qu’une équation réduite de la tangente Ta est : y = [ (1− a) e −a ] x + a 2 e −a . Equation de la tangente y = f '(a) (x-a) + f(a). y = (1-a)e-a (x-a) + a e −a . y = [ (1− a) e −a ] x + a 2 e −a . b. En déduire l’expression de g(a). Ordonnée du point Ha = g(a) de la tangente en x = 0. g(a) = a 2 e −a . c. Démontrer que g(a) est maximum lorsque A est un point d’inflexion de la courbe Cf. On considère la fonction g(x)= x2 e-x. On dérive g(x) en posant u = x2 et v = e-x ; u' = 2x ; v' = -e-x. u'v+v'u = 2xe-x-x2e-x= x(2-x) e-x. La fonction g possède un maximum pour x = 2 ; cela correspond au point d'iflexion de la courbe Cf.

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