Suites, bac Nlle Calédonie 2023.

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On considère la suite (un) définie par u0 = 3 et, pour tout entier naturel n, par : un+1 = 5un −4n −3.
1. a. Démontrer que u1 = 12.
u1 = 5u0 −4 x0 −3= 15-3=12.
 b. Déterminer u2 en détaillant le calcul.
u2 = 5u1 −4x1 −3 = 5 x12 -4-3 = 53.
c. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation ainsi que la limite de la suite (un).
La suite semble croissante et  tendre vers plus l'infini.
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un > n +1.
Initialisation : u0 = 3 et 0+1 = 1. 3 >1. La propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : un > n +1 est supposée vraie.
5 un > 5(n +1).
5 un -4n-3 > 5(n +1)-4n-3.
un+1 > n+2 ; un+1 > (n+1)+2.
La propriétéé est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.
b. En déduire la limite de la suite (un).
La suite (un) tend vers plus l'infini si n tend vers plus l'infini.
 3. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par : vn = un −n −1.
a. Démontrer que la suite (vn) est géométrique.
Donner sa raison et son premier terme v0.
vn+1 = un+1-(n+1)-1 = 5un −4n −3-n-2 = 5un-5n-5) = 5(un-n-1)=5 vn.
La suite (vn) est donc géométrique de raison q = 5 et de premier terme v0 =u0-1=2.
 b. En déduire, pour tout entier naturel n, l’expression de vn en fonction de n.
vn = 2 x5n.
c. En déduire que pour tout entier naturel n : un = 2×5 n +n +1.
un = vn+n+1 = 2 x5n.+n+1.
d. En déduire le sens de variation de la suite (un).
un+1-un =2 x5n+1.+n+2 -( 2 x5n.+n+1) =8 x 5n +1 > 0.
un+1 > un  : la suite (un) est strictement croissante.
4. On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python et destinée à renvoyer le plus petit entier naturel n tel que un > 107 .
 a. Recopier le programme et compléter les deux instructions manquantes.
def suite( ) :
u=3
n=0
while u < 10**7 :
u = 5*u-4*n-3
n=n+1
return n.
b. Quelle est la valeur renvoyée par cette fonction ?
u
 n
 u < 107
6256
 5
 vrai
31 257
 6
 vrai
156 258
 8
 vrai
781 259
 9
 vrai
3 906 260
 9
 vrai
19 531 261
 10
 faux

La valeur renvoyée est n  =10.

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 On considère la suite (un) telle que u0 = 0 et pour tout entier naturel n : un+1 = (−un −4) /  (un +3) .
 On admet que un est défini pour tout entier naturel n.
1. Calculer les valeurs exactes de u1 et u2.
u1 = (−u0 −4) /  (u0 +3) =(-4) / 3 = -4 /3.
u2 = (−u1 −4) /  (u1 +3) =(-8 /3) / (5 /3) = -8/5 .
2. On considère la fonction terme ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python :
On rappelle qu’en langage Python, « i in range (n) » signifie que i varie de 0 à n −1.
def terme (n) :
 u =0
for i in range(n):
 u = (-u-4)/(u+3)
return(u)
Recopier et compléter le cadre ci-dessus de sorte que, pour tout entier naturel n, l’instruction terme (n) renvoie la valeur de un.
3. Soit la fonction f définie sur ]−3 ; +∞[ par : f (x) = (−x −4) /( x +3) . Ainsi, pour tout entier naturel n, on a un+1 = f (un). Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur ]−3 ; +∞[.
Dériver en posant u =-x-4 et v = x+3 ; u' = -1 ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 =(-x-3+x+4) /(x+3)2 =1 /(x+3)2 >0.
La fonction est strictement croissante sur ]−3 ; +∞[.
 4. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : −2 < un+1 < un.
Initialisation : u1 = f(0)= -4 /3 ; u0 = 0. -2 < -4 /3 < 0. La propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : −2 < un+1 < un est supposée vraie.
La fonction f étant strictement croissante : f(−2) < f(un+1 ) < f(un ).
f(-2) = (6-4) /(-2+3) = -2 ; f(un+1) = un+2 ; f(un) = un+1.
-2 < un+2 < un+1.
La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.
5. En déduire que la suite (un) est convergente.
un+1 < un  : la suite est décroissante.
−2 < un+1 : la suite est minorée par -2.
D'après le théorème de la convergence monotone, la suite converge vers -2.
6. Soit la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par : vn = 1 /(un +2).
a. Donner v0.
vn = 1 /(u0 +2) = 0,5.
b. Démontrer que la suite (vn) est arithmétique de raison 1.
vn+1 = 1 /(un+1 +2) = 1 / [(−un −4) /  (un +3)+2] = (un +3) / (un+2).
vn+1 -vn = (un +3) / (un+2) -1 /(un +2) = (un+2) /(un +2) =1.
vn+1 =vn  : la suite (vn) est arithmétique de raison r = 1 et de premier terme v0 =0,5.
c. En déduire que pour tout entier naturel n > 1 : un = 1/( n +0,5) −2.
vn = 1 / (un +2) = v0 + n r = v0 +n = 0,5 +n.
un +2 = 1 / vn =1 /(0,5 +n) ;  un = 1 /(0,5 +n) -2.
 d. Déterminer la limite de la suite (un).
0,5 + n tend vers plus l'infini si n tend vers plus l'infini.
1 /(0,5 +n) tend vers zéro et un tend vers -2.

  
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