Géométrie, bac Nlle Calédonie 2023. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... On considère le cube ABCDEFGH d’arête 1 représenté ci-dessous. On note K le milieu du segment [HG].  1. Justifier que les points C, F et K définissent un plan. Ces deux vecteurs n'étant pas colinéaires, les points C, F et K définissent un plan. 2. a. Donner, sans justifier, les longueurs KG, GF et GC. KG = 0,5 ; GF = 1 ; GC = 1.  b. Calculer l’aire du triangle FGC. Triangle rectangle en G ( moitié du carré BCFG) : GF x CG / 2 = 1 x 1 /2 = 0,5 unité d'aire. c. Calculer le volume du tétraèdre FGCK. Base CFG x hauteur GK / 3 = 0,5 x 0,5 / 3 = 1 / 12 unité de volume. 3. a. On note n le vecteur de coordonnées (1 ; 2 , 1). Démontrer que n est normal au plan (CFK). Le vecteur n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (CFK), donc c'est un vecteur orthogonal à ce plan.  b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (CFK) est : x +2y + z −3 = 0. x+2y+z+d=0. C(1 ; 1 ; 0) appartient à ce plan :1 +2 +0+d = 0 ; d = -3. 4. On note D la droite passant par le point G et orthogonale au plan (CFK). Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite D est :  x = 1+ t ; y = 1+2t  ; z = 1+ t avec t réel. Le vecteur n (1 ; 2 ; 1) est un vecteur directeur de cette droite D. x = t+xG =t+1 ; y = 2t+yG = 2t+1 ; z = t +zG = t+1. 5. Soit L le point d’intersection entre la droite D et le plan (CFK).  a. Déterminer les coordonnées du point L. L appartient au plan  (CFK) et à la droite D : 1+t +2(2t+1) +1+t-3 = 0 ; 6t +1=0 ; t = -1 /6. L( 5 /6 ; 4 /6 ; 5 /6). b. En déduire que LG = 6½ / 6. LG = [(1-5 /6)2 +(1-4 /6)2 +(1-5 /6)2 ] ½= (12 +22+12)½ / 6= 6½ / 6.  6. En utilisant la question 2., déterminer la valeur exacte de l’aire du triangle CFK. Le tétraèdre FGCK a pour base le triangle CFK et pour hauteur LG. Son volume vaut : aire triangle CFK x LG / 3 =1 / 12. Aire triangle CFK x 6½ / (6 x3) = 1 /12. Aire triangle CFK x 6½ / 3 = 1 /2. Aire triangle CFK  =3 /  (2 x6½ )=6½ / 4. ... .... QCM 1. On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = (x +1)ex . Une primitive F de f sur R est définie par : a. F(x) = 1+ x e x vrai ;  b. F(x) = (1+ x) e x ; c. F(x) = (2+ x) e x  ; d. F(x) = ( x 2 /2 + x )e x . On dérive F : a. On pose u = x et v = ex ; u' = 1 ; v' = ex ; u'v+v'u = ex+xex = (x+1)ex. Dans toute la suite de l’exercice, on se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.  2. On considère les droites (d1) et (d2) dont des représentations paramétriques sont respectivement : (d1)  : x = 2+r  ;y = 1+r  ; z = −r (r ∈ R) et (d2)  : x = 1− s ; y = −1+ s ;  z = 2− s (s ∈ R).  Les droites (d1) et (d2) sont : a. sécantes. Vrai  b. strictement parallèles. c. confondues. d. non coplanaires. Vecteur directeur de d1 : (1 ; 1 ; -1) ; vecteur directeur de d2 : (-1 ; 1 ; -1). Les vecteurs directeurs de ces droites ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles. Hypothèse : les droites sont sécantes en A (a ; b ; c). 2+r = 1-s ; r = -1-s. 1+r = -1+s ; r = -2+s. Par suite : -1-s = -2+s ; s = 0,5 et r = -1,5. -r = 2-s est vérifié. 3. On considère le plan (P) dont une équation cartésienne est : 2x − y + z −1 = 0. On considère la droite (D) dont une représentation paramétrique est :  x = 2+u  ; y = 4+u ; z = 1−u (u ∈ R).  La droite (D) est : a. sécante et non orthogonale au plan (P).  b. incluse dans le plan (P). Vrai  c. strictement parallèle au plan (P). d. orthogonale au plan (P). Coordonnées d'un vecteur normal au plan P : (2 ; -1 ; 1). Coordonnées d'un vecteur directeur de D : (1 ; 1 ; -1). Le produit scalaire de ces deux vecteurs étant nul, ces vecteurs sont orthogonaux. Le plan P et la droite D sont parallèles. La droite passe par le point A de coordonnées (2 ; 4 ; 1). A appartient-il au plan ? 2 *2 -4 +1-1 = 0 est bien vérifié. Donc A appartient au plan. La droite et le plan ont un point commun et la droite et le plan sont parallèles : la droite est incluse dans le plan. 4. On considère le plan (P1) dont une équation cartésienne est x−2y +z+1 = 0, ainsi que le plan (P2) dont une équation cartésienne est 2x + y + z −6 = 0. Les plans (P1) et (P2) sont : a. sécants et perpendiculaires.  b. confondus.  c. sécants et non perpendiculaires. Vrai. d. strictement parallèles. Coordonnées d'un vecteur normal au plan P1 : (1 ; -2 ; 1). Coordonnées d'un vecteur normal au plan P2 : (2 ; 1 ; 1). Ces deux vecteurs n'étant pas colinéaires, les plans ne sont pas parallèles, ils sont donc sécants. Le produit scalaire de ces deux vecteurs diffère de zéro, les plans ne sont pas orthogonaux. 5. On considère les points E(1; 2; 1), F(2; 4; 3) et G(−2 ; 2 ; 5). On peut affirmer que la mesure a de l’angle FEG vérifie :  a. a = 90° b. a > 90° c. a = 0° d. a ≈ 71° . Vrai . cos a =5 / 15 = 1 / 3 ; a ~71°.

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