Epaisseur du matelas du saut à la perche, bac Amérique du Nord 2022.

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Le principe du saut à la perche repose sur la conversion de l’énergie cinétique, issue de la course d’élan du perchiste, en énergie potentielle de pesanteur. L’athlète plante la perche en bas du sautoir et la plie. L’énergie cinétique issue de la course est alors transformée en énergie élastique et emmagasinée par la perche. Lorsque celle-ci se détend, elle restitue cette énergie élastique à l’athlète. On passe ainsi d’un mouvement horizontal, la course, à un mouvement vertical, le saut. Aujourd’hui, les perches en fibre de carbone restituent de manière quasiment intégrale l’énergie emmagasinée.
Dans cet exercice, il s’agit d’étudier les transferts d’énergie lors de la phase d’ascension, de déterminer la vitesse d’impact de l’athlète sur le tapis et de vérifier que l’épaisseur du matelas de réception évite que l’athlète ne se blesse.
 Dans tout l’exercice, on assimile l’athlète à son centre de masse et on note z l’altitude par rapport au sol.
A. Étude de la phase ascendante.
 Le mouvement complet d’Armand Duplantis, lors de son record du monde, est filmé puis étudié à l’aide d’un logiciel de pointage. Les données de la partie ascendante du mouvement sont traitées à l’aide d’un programme écrit en langage python qui permet de représenter l’évolution au cours du temps des énergies cinétique Ec, potentielle de pesanteur Epp, potentielle élastique Epe et mécanique Em du système défini par l’ensemble {sportif + perche}. Un extrait de ce programme est donné ci-dessous :

Pour la partie ascendante du mouvement de l’athlète, on obtient les courbes suivantes :

A.1. Identifier parmi les courbes A et B, celle représentant l’énergie cinétique et celle représentant l’énergie potentielle de pesanteur. Justifier les choix.
L'énergie potentielle de pesanteur augmente ( courbe B) et l'énergie cinétique diminue, puis augmente lorsque la perche restitue de l'énergie  ( courbe A ).
 A.2. Recopier et compléter le code des lignes 27 et 28 du programme.
Ec[i]=0,5*m*v**2
Epp[i]=m*g*z

 A.3. Extraire du programme la valeur de la vitesse initiale d’Armand Duplantis.
v = 10,063 m /s.
 L’énergie potentielle élastique augmente avec la déformation de la perche.
A.4. Identifier, parmi les trois situations ci-dessous, celle qui correspond à t = 0,9 s. Justifier

A t = 0,9 s, l'énergie cinétique passe par un minimum et la perche courbée au maximum va commencer à restituer de l'énergie.
( situation 2).
Armand Duplantis franchit la barre grâce à une technique d’enroulement. Ainsi, son centre de masse se situe en un point A légèrement au-dessous de la barre au moment du franchissement.
A.5. En exploitant le graphique précédent, déterminer la valeur de l’altitude maximale zA, par rapport au sol, atteinte par le centre de masse de l’athlète.
Au point le plus haut, l'énergie cinétique est nulle, l'énergie potentielle de pesanteur vaur environ 4700 J.
Masse de l'athlète m = 79,0 kg.
zA = 4700 / (79,0 x9,81) =6,06 m.
B. La vitesse d’impact sur le tapis de réception.
 Au moment du franchissement de la barre, le centre de masse de l’athlète se situe à l’altitude zA et sa vitesse est considérée comme nulle. On note zB l’altitude du centre de masse de l’athlète au moment de son impact avec le tapis. On négligera l’action de l’air.
 B.1. Justifier qu’après le franchissement de la barre, l’athlète est en chute libre.
En négligeant l'action de l'air, l'athlète n'est soumis qu'à son poids.
 B.2. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique ou la loi de conservation de l’énergie mécanique, déterminer l’expression de la vitesse d’impact de l’athlète sur le tapis en fonction de g, zA et zB. On donne zB - zA = 5,31 m.
B.3. Calculer la valeur de la vitesse d’impact de l’athlète.
L'énergie mécanique initiale est sous forme potentielle : mgzA
L'énergie mécanique finale est ½mv2.+mgzB.
Conservation de l'énergie mécanique : ½mv2.+mgzB. = mgzA.
v2 = 2g(zA-zB).
v = [
2g(zA-zB)]½ =(2 x9,81 x5,31)½ =10,2 m /s.

C. Épaisseur du matelas. On considère le repère (Oxz) axe  vertical orienté vers le haut. Au moment où l’athlète arrive sur le matelas, son centre de masse est animé d’une vitesse  dont la composante verticale est v = -10,2 m∙s -1 . On considère que la composante horizontale de la vitesse est nulle . On modélise l’action du matelas sur l’athlète par une force constanteF verticale vers le haut. Pour ne pas provoquer de blessures lors de la phase de réception, le matelas se déforme pour que la valeur de l’accélération subie par le corps de l’athlète ne dépasse pas 10 fois l’accélération de la pesanteur, soit 10 × g. On se place dans le cas où l’accélération est maximale : az = 10 × g.
C.1. Après avoir fait un bilan des forces s’exerçant sur Armand Duplantis lors de la réception et en utilisant la seconde loi de Newton, démontrer que la valeur F de la force exercée par le tapis est égale à 8,52 kN.
L'athlète est soumis à son poids, verticale, vers le bas, valeur mg = 79,0 x9,81 =775 N et à l'action du matelas F, verticale vers le haut.
La seconde loi de Newton projetée sur l'axe vertical s'écrit :
-mg +F = maz ; F = mg + maz =m(g+az) =79,0 (9,81 +98,1)=8,52 103 N = 852 kN.
 C.2. En prenant l’instant du contact entre l’athlète et le tapis comme origine des temps et en se plaçant dans le repère (Oxz), montrer que les équations horaires du mouvement de l’athlète s’écrivent :
 vz (t) = 10 × g × t + v0z et z(t) = 5 × g × t 2 + v0z × t + zB.
La vitesse est une primitive de l'accélération vz = azt +cste.
à t=0 vz = v0z d'où :  vz (t) = 10 × g × t + v0z .
La position est une primitive de la vitesse :
z(t) = 5 × g × t 2 + v0z × t + Cste.
à t=0 z = zB d'où : z(t) = 5 × g × t 2 + v0z × t + zB.
C.3. Déterminer la durée de la phase de réception.
A la fin de la réception vz = 0 soit :t = 10,2 / 98,1 =0,104 s.
 Le tapis de réception a une épaisseur de 82 cm.
 C.4. Montrer que cette épaisseur est suffisante pour que l’athlète ne soit pas blessé par le sol.
zB = 6,06-5,31 = 0,75 m
z(0,104) = 5 × 9,81 × 0,104 2 -10,2 × 0,104 +0,75 =.0,530-1,06+075=0,22 m.
zB-0,22 = 0,53 m = 53 cm < 82 cm.
L'athlète ne se blesse pas.




  
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