Mathématiques. Concours ingénieur territoriale 2009.

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Problème I.
Le plan est rapporté à un repère orthogonal d'origine O ; unité 3 cm sur chaque axe. On considère la courbe paramétrée C définie pour 0 < t < p/2 par :
M(t) : x(t) = sin2(t)=(1-cos(2t)) / 2 ; y(t) = 4 sin(t) cos(t) = 2 sin (2t).
1. Calculer les coordonnées du point M(p/2-t) puis celle du milieu N(t) du segment [M(t)M(p/2-t)]. En déduire que C est symétrique par rapport à une droite D qu'on précisera. En déduire l'intervalle d'étude d'origine O.
M(p/2-t)  : x=0,5(1-cos(p-2t)) =0,5(1+cos(2t)).
y(t) = 2 sin
(p-2t)=2 sin (2t).
N(t) : abscisse :
(1-cos(2t)) / 4 +(1+cos(2t)) / 4 =0,5.
ordonnée :
sin (2t) + sin (2t) = 2 sin (2t).
La courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation x = 0,5.
On étudie la fonction sur
0 < t < p/4.
2. Calculer les dérivées des fonctions x et y. Préciser leur signe.
x'(t) = sin(2t) > 0; y'(t) =4 cos(2t) > 0 si t appartient à
0 < t < p/4.
x'(t) = sin(2t) > 0; y'(t) =4 cos(2t) < 0 si t appartient à p/4 < t < p/2.
Former le tableau de variation de x(t) et de y(t).

3. Tracer la courbe C et préciser la tangente en chacun des points O, A = M(p/4) et B = M(p/2).

4. On note (D) la partie du plan limitée par (C) et l'axe des abscisses. Calculer en cm2 l'aire S de (D).
On utilise la formule de Green-Riemann :
xdy =4 
sin2(t) cos(2t) =2(1-cos(2t)) cos(2t) = 2[cos(2t)-cos2(2t)] = 2cos(2t) -(1+cos(4t) ).
ydx = 2 sin2(2t) =1-cos(4t).
xdy-ydx =
2cos(2t) -(1+cos(4t) )-1+cos(4t) =2cos(2t)-2.
½(xdy-ydx) = cos(2t)-1.
Primitive de cos(2t)-1 : ½sin(2t) -t.
Aire S =
[½sin(2t) -t ]0p/2 =0 -p/2 -0= -1,57 unités d'aire ( courbe parcourue dans le sens anti-horaire).
S =
1,57 unités d'aire ( courbe parcourue dans le sens horaire).
Une unité d'aire = 9 cm2.

5. Déterminer l'équation de (C) sous la forme y = f(x). Exprimer sin(t) et cos(t) en fonction de x(t).
sin(t) = x½ ; cos(t) = [1-sin2(t) ]½ = (1-x)½.
y = 4
x½ (1-x)½= 4 [x(1-x)]½.


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Problème II.
On considère les matrices suivantes à coefficients réels :
1. Calculer A2. En déduire qua A est inversible et calculer son inverse.

Déterminant de A : 1-0-0+0*(-1)*1+0*(-1)*1-[1*0*0+1*0*0+1*(-1)*(-1)] = -1.
Le dérminant n'est pas nul, la matrice est inversible.
AxA = I ; A xA-1=I donc A=A-1.
2. Calculer les valeurs propres de A.

l1 = -1 ; l2 = 1 ; l3 = 1.
Déterminer une base et la dimension de chaque sous-espace propre de A.

2x = 0 ; x=0 ; x+y-z=0 soit y = z.
Vecteur propre x1 (0 ; 1 ; 1).

0x = 0 ; x est quelconque  ; x-y-z=0.
Par exemple :
Vecteur propre x2 (2 ; 1 ; 1).
De même pour l3.
Vecteur propre x3 (0 ; 1 ; -1).

Le déterminant n'est pas nul ; la famille (x1, x2, x3) est une base de R3.
La matrice A est-elle diagonalisable ? Justifier.
Les vecteurs propres x2 (2 ; 1 ; 1 ) et x3 (0 ; 1 ; -1) sont linéairement indépendants car non colinéaires. Ils constituent une base du sous espace propre E2.
De même le
vecteur propre x1 (0 ; 1 ; 1) constitue une base du sous espace propre E1.
La dimension de chaque sous espace propre étant égale à l'ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante, la matrice est diagonalisable.

3. Résoudre le système différentiel :
dx/dt =x ; dy/dt = x-z ; dz/dt = x-y.
x' -x = 0 ; x(t) = A et avec A une constante.
y' -x+z = 0 ; z' -x+y = 0 ; y' +z'+y +z = 2x = 2Aet.
On pose u = y +z ; u' +u = 2 A et ; u =y+z= B e-t +
A et .
On pose v = y -z ; v' -v = 0 ; v =y-z= C et .
2y = Be-t
+ (A+C) e; y(t) = ½Be-t +½(A+C)et.
2z =
Be-t + (A-C) e; z(t) = ½Be-t +½(A-C)et.
On vérifie : y' = -½Be-t +½(A+C)et ; x-z =
Aet -½Be-t -½(A-C)et .
z'=
-½Be-t +½(A-C)et ; x-y = Aet -½Be-t -½(A+C)et.
Déterminer la solution de ce système vérifiant x(0) = y(0) = 1 et z(0) = 0.
x(0) =A = 1 ; y(0) =0,5 (1+B+C )= 1 ; B+C = 1.
  z(0) = ½(B +1-C)=0 ; B-C = -1. B = 0 et C = 1.
x(t) = et ;
y(t) =et ; z(t) = 0.

4.
On pose B = A+I.
Calculer B2 en fonction de A et I; en déduire B2 en fonction de B.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, n > 1 : Bn = 2n-1B.
Initialisation : la propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : la propriété est supposée vraie au rang n :
Bn = 2n-1B.
Bn+1 =
2n-1B x B =2n-1x 2 x B =2nB.  La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire ; elle est vraie
pour tout entier naturel n, n > 1




  

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