Une petite glace. Concours ITPE 2021.

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Réalisation d'une glace.
On mélange des fruits congelés avec du sucre et des blancs d'oeuf à température ambiante. On cherche à déterminer la température finale du mélange selon les proportions choisies.
Hypothèses : les fruits sont assimilés à une masse m1 d'eau à la température initiale T1 = -20°C.
Le mélange sucre + blancs d'oeufs est assimilé à une masse m2 d'eau pris à la température initiale T2 = 20°C.
On néglige la capacité thermique du récipient.
Capacité thermique de l'eau liquide : cl=4,18 kJ kg-1K-1 ; de l'eau solide cs = 2,06 kJ kg-1 K-1.
Enthalpie massique de fusion de la glace DHfusion = 333 kJ kg-1.
30.Le mélange se fait rapidement, justifier que la variation d'enthalpie du mélange est nulle.
En mélangeant rapidement fruits, sucre et blancs, les échanges avec le milieu extérieur n'ont pas le temps de se réaliser.

31. On note x = m2 / m1 et Tf la température finale. Quelles sont les valeurs limites de Tf ?
Si m2 tend vers zéro, Tf = -20°C et si m1 tend vers zéro, Tf = 20°C.
32. On considère la valeur particulière x' conduisant à un mélange de température finale 0°C complètement solide. Montrer que :
x' = cs(Tf-T1) / [cl(T2-Tf)+
DHfusion]
Energie gagnée par les fruits : Q1 = m1
cs(Tf-T1).
Energie cédée par le sucre et les blancs : Q2 = m2[cl(Tf-T2)-DHfusion].
Q1 +Q2 =0 ; m1cs(Tf-T1) = -m2[cl(Tf-T2)-DHfusion].
x' = cs(Tf-T1) / [cl(T2-Tf)+DHfusion].
 33. Déterminer la même expression x" correspondant à un mélange complètement liquide.
Energie gagnée par les fruits : Q1 = m1[cs(Tf-T1)+DHfusion].
Energie cédée par le sucre et les blancs : Q2 = m2cl(Tf-T2).
Q1 +Q2 =0 ;
m1[cs(Tf-T1)+DHfusion] = -m2cl(Tf-T2).
x" =
[cs(Tf-T1)+DHfusion] / [cl(T2-Tf)]
34. Tracer l'allure du graphe T(x) et calculer x' et x".
x' = 2,06(Tf+20) / [4,18(20-Tf)+333] =(2,06 Tf +41,2) / (416,6-4,18 Tf).
416,6x'-4,18 Tf x' =2,06 Tf +41,2.
(2,06 +4,18 x')Tf =
416,6x'-41,2 ; Tf =(416,6x'-41,2) / (2,06 +4,18 x').
x" = [2,06(Tf+20)+333] / [4,18(20-Tf) ]=(2,06 Tf +374,2) / (41,2-4,18 Tf).
(41,2-4,18 Tf )x"=2,06 Tf +374,2 ; (2,06 +4,18 x")Tf = -333 ; Tf = (-374,2 +83,6x) / (2,06 +4,18 x").

x' = 2,06(0+20) / [4,18(20-0)+333]=41,2 /416,6 ~0,1.
x" = [2,06(0+20)+333] / [4,18(20-0) ]=374,2 / 83,6=4,48.
35. Calculer Tf si m1 = 300 g et m2 = 80 g.
x =80 / 300 ~0,227.
0,1 < 0,227 < 4,48 ; le mélange est partiellement solide, sa température est 0°C.



 

  

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