Optique, communication par fibre optique, Concours ITPE 2020.

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Phénomène de réflexion totale.
1. Que signifie le terme lumière monochromatique en optique ?
Une lumière monochromatique est caractérisée par une seule fréquence.
On considère un rayon lumineux ( issu d'une lumière monochromatique) arrivant sur à l'interface plane séparant deux milieux d'indices différents, notés n1 et n2 sous un angle d'incidence i.
2. Enoncer les lois de Descartes pour la réflexion et la réfraction.

Les trois rayons incident, réfléchi et réfracté sont dans le même plan ; l'angle d'incidence i1 est égal à l'angle de réflexion r. Les angles d'incidence i1 et réfracté i2 sont reliés par la relation : n1 sin i1 = n2 sin i2.
3. Citer et décrire une expérience montrant la dépendance de l'indice de réfraction du verre par rapport à la longueur d'onde.

Dispersion de la lumière par un prisme :

après avoir traversé le prisme de verre, les différentes radiations colorées constituant la lumière blanche sont déviées différemment ; dans le prisme les vitesses de propagation sont différentes pour des radiations de fréquences différentes.

4. On suppose dans cette partie que n1 > n2.
Montrer que si i > i0, aucun rayon réfracté ne peut émerger et que le rayon incident est donc entièrement réfléchi. Exprimer i0 en fonction de n1 et n2. On dit alors que le rayon incident subit une réflexion totale.
n1 sin i1 = n2 sin i2 avec sin i2 < 1.
n1 sin i0 = n2  ; sin i0 = n2  / n1.
5. Dans le cas où n1 = 1,500 et n2 = 1,470, donner la valeur numérique de 90-i0.
1,47 / 1,5 = 0,980 ; i0 = 78,5 ° ; 90-i0 ~ 11,5 °.

Fibre à saut d'indice.
Une fibre optique à saut d'indice est constituée d'un coeur cylindrique d'indice nc et d'une gaine cylindrique d'indice ng entourant le coeur avec ng < nc. Un rayon situé dans le plan Oxy entre dans la fibre au point O avec un angle d'incidence q.

6. A quelle condition sur i, angle d'incidence à l'interface coeur-gaine, le rayon reste-t-il confiné à l'intérieur du coeur ?
sin ilimng / nc ; i doit être inférieur à ilim.
7. Montrer que la condition précédente induit une valeur limite qlim de q. En déduire l'expression de l'ouverture numérique ON = sin qlim.

en I, dioptre air/coeur : nair sin qi = nc sin r ; sin qi = nc sin r (1).
en J, il y a réflexion totale : sin
ilimng / ncles angles i et r sont complémentaires soit sin r = cos i.
(1) donne : cos i = sin q / nc  ; sin q nc  cos i ; sin qlim nc  cos ilim
q doit donc être inférieur à qlim.
Un raisonnement identique peut être fait pour tous les plans Oxy, quelle que soit leur inclinaison par rapport au plan vertical. On dit qu'il existe un cône d'acceptance associé à la fibre permettant au rayon de se propager par réflexions totales dans la fibre.

sin ilim = ng /nc ;
sin qlim = nc cos ilim.
sin2 ilim =(ng /nc)2 ; cos2 ilim = sin2 q lim / n2c ; sin2 ilim +cos2 ilim =1.
1 = (ng /nc)2 + sin2 q lim / n2c ; n2c =n2g+sin2 q lim.
n2c -n2g=sin2 q lim = ON2.
ON = (
n2c -n2g)½.
ON = (1,52-1,472)½ =[(1,5+1,47)(1,5-1,47)]½ =0,298
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8. Exprimer la vitesse de propagation de la lumière dans la fibre en fonction de la vitesse de la lumière dans le vide, notée c, et de l'indice du coeur nc.

v= c / nc.
On considère une fibre de longueur L. Le rayon entre dans la fibre avec un angle d'incidence q variable entre 0 et qlim.
9. Quel est le rayon qui traverse le plus rapidement la fibre ? Calculer la durée du parcurs Dtmin de ce rayon.

Le rayon correspondant à q = 0.
Dtmin = L / v = L nc / c.
10. Quel est le rayon qui met le plus de temps à traverser la fibre ? Calculer la durée du parcurs Dtmax de ce rayon.
Figure ci-dessus, expression de IJ : ( on note h la projection de IJ sur l'axe de la fibre).
cos r = h / IJ; or sin
qi = nc sin r ; cos² r + sin² r = 1 ;
h² / IJ² +( sin qi / nc )² = 1 ; h / IJ = [1-( sin qi / nc )² ]½.
Le rapport entre la longueur L de la fibre et le trajet d suivi par la lumière est : L/d =[1-( sin qi / nc )² ]½
d = L[1-( sin
qi / nc )² ] soit pour l'angle qlim : d = L[1-( sin qlim / nc )² ] .
d =L[1-( n2c -n2g) / n2c ) ] =L(n2g) / n2c ) =Lnc / ng.
Dtmax =  d nc / c =Ln2c / (ng c).
11. En déduire que l'intervalle de temps Dt entre le temps de parcours minimal et maximal s'écrit : Dt = nc(nc-ng)L / (ngc).

Dt=Ln2c / (ng c)- L nc / c =  L nc[nc/ (ng c)-1/c]=L nc[nc/ (ng c)-ng / (ng c)]= nc(nc-ng)L / (ngc).

On injecte à l'entrée de la fibre une impulsion lumineuse d'une durée caractéristique t0 = t2-t1 formé par un faisceau de rayons ayant un angle d'incidence compris entre 0 et qlim. La figure ci-dessous représente l'allure de l'amplitude du signal en fonction du temps.
12. Reproduire l'allure du signal lumineux à la sortie de la fibre. Quelle est la durée t'0 de cette impulsion de sortie ?
t'0=t0+
Dt.


13. Le codage binaire de l'information consiste à envoyer des impulsions lumineuses périodiquement avec une fréquence  d'émission f. On suppose t0 négligeable devant Dt. Quelle relation existe-t-il entre la fréquence maximale d'émission fmax et la longueur L de la fibre ?
Il ne faut pas que deux signaux consécutifs se superposent à la sortie d'où la fréquence maxi :
fmax = 1 / t'0 ~1/
Dt = ngc/ [ nc(nc-ng)L ].
14. Pour L = 100 m, calculer fmax. Commenter.
Pour L = 100 m ; fréquence maximale de répétition fmax = 1,5 x 3 108 / (1,47 x0,03 x100)=1,02 108 Hz.

 

Optique de focalisation.
Il est nécessaire pour optimiser l'intensité lumineuse se propageant dans la fibre d'adapter en entrée une lentille convergente mince de focale f '.
Le faisceau incident est supposé parallèle à l'axe optique de diamètre d = 1,0 mm, inférieur au diamètre de la lentille.
15. On se place dans les conditions de Gauss. Préciser en quoi consistent les conditions de Gauss.
 L'objet doit être de petites dimensions et placé au voisinage de l'axe optique principal du système optique. On élimine ainsi les rayons lumineux trop inclinés sur l'axe optique. Les systèmes optiques possèdent en général un axe de symétrie appelé axe optique.
16. Sur un schéma, tracer le faisceau lumineux après traversée de la lentille. En déduire l'expression de l'angle d'ouverture du faisceau après la lentille.

Les angles étant petits, tan a ~ a ; 2 a ~ d / f '.

7. Justifier que pour que l'intégralité du faisceau lumineux pénètre à l'intérieur de la fibre optique, on doit avoir : f ' > d / tan qlim.
a doit donc être inférieur à qlim.

18. Quel phénomène limite la focalisation ?
La diffraction.




  

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