Mathématiques : suites réelles, le début justifie la fin, concours général 2021.

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On considère l'ensemble, noté S, des suites (un) n >0 à valeurs réelles et telles que :
un+1 = exp(un) / n+1) pour tout entier n > 0.
  Pour tout nombre réel x, on note u(x) la suite appartenant à S et dont le premier terme vaut x. On note également un(x) le terme d'indice n de cette suite. Ainsi u0(x ) = x et u1(x) = exp(x).
1. Démontrer que toute suite appartenant à S est strictement positive à partir du rang 1.
La fonction exponentielle est à valeurs strictement positives ; n+1, entier naturel non nul
, est strictement positif.
Le quotient de deux nombres strictement positifs est strictement positif. 

2. Démontrer que, s'il existe un rang N > 2 pour lequel uN < 1, alors (un) converge vers zéro.
Il existe un entier p > 2 tel que up < 1.
Alors pour n > p, un+1 = exp(un) / (n+1) <  e / (n+1)  < e / (p+1) < e /3 < 1.
Alors pour n > p+1 : 0  < exp(un-1 / n < 1 / n, soit : 0 < un < 1/ n.
Quand n tend vers plus l'infini, un tend vers zéro.
3. Démontrer que, si cette suite ne converge pas vers zéro, alors elle diverge vers plus l'infini.
Quelque soit n > 2, un > 1.
un+1 = exp(un) / (n+1) > 1 ; soit un > ln(n+1).
Quand n tend vers plus l'infini, un tend vers plus l'infini.

On note E0 l'ensemble des réels x pour lesquels la suite u(x) converge vers zéro, et Eoo l'ensemble des réels x pour lesquels u(x) diverge vers +oo.

4. Démontrer que 0 appartient à E0.
u2 =e / 2 ~1,4; u3 ~ exp(1,4) / 3 ~ 1,35 ;
u4 ~ exp(1,35) / 4 ~ 0,97 ;
D'après la question 2, cette suite converge vers zéro.

5.a. Démontrer, pour tout entier n > 0, que la fonction un(x) est strictement croissante sur R.
Soit x < y :
Initialisation : u0(x) =x ; u0(y) = y ; u0(x) < u0(y). La relation est vraie au rang 0.
Hérédité : la relation est supposée vraie au rang n, soit  un(x) < un(y).
un+1(x)=exp(un(x)) / (n+1) ; un+1(y)=exp(un(y)) / (n+1) ;
or
un(x) < un(y) donc exp(un(x)) < exp(un(y)).
un+1(x) < un+1(y).
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est vraie  pour tout entier n.

5.b. En déduire que si x  est un élément de E0, alors l'intervalle ]-oo ; x ] est inclus dans E0.
Soit y appartenant à
]-oo ; x ]  : un(y) < un(x) ;
D'après le théorème des gendarmes,
l'intervalle ]-oo ; x ] est inclus dans E0.
6.a. Démontrer que la fonction f(x) = ex -x(x+1) est strictement poositive sur l'intervale [2 ; +oo[
f '(x) = ex -(x+1+x)= ex -2x-1.
f '(x) > 0 si et seulement si x > ln(2x+1), soit x > 2.
f(x) est strictement croissante  sur
[2 ; +oo[.
De plus f(2) = e2-6 > 0.
6.b. Soit (un) une suite appartenant à S. Démontrer que s'il existe un rang N > 1 pour lequel uN > N+1, alors (un) diverge vers plus l'infini.
Il existe un rang N > 1 pour lequel uN > N+1, alors uN+1= exp(uN) / (N+1)  > uN d'après la question 6.a.
Donc
uN > N+1 et donc (un) diverge vers plus l'infini.
6.c. Démontrer que 1 appartient à Eoo.
u0 = 1 ; u1 = e > 2 = 1 +1.
D'après la question précédennte,
1 appartient à Eoo.
7. Démontrer que si x est un élément de Eoo, alors l'intervalle [x ; +oo] est inclus dans Eoo.
Soit y appartenant à
[x ; +oo] : un(y) > un(x) ;
or
un(x) diverge vers plus l'infini ; donc un(y) diverge vers plus l'infini.

 

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Nous allons maintenant démontrer qu'il existe un nombre réel d tel que l'intervalle ]-oo ; d [ est inclus dans E0 et l'intervalle [d ; +oo[ est inclus dans Eoo.
8. On définit deux suites ( an) et (bn) de la façon suivante.
On pose a0= 0 et b0 = 1.
Pour tout entier n >0, on pose an+1=(an+bn) / 2 et bn+1= bn si (an+bn) / 2 appartient à E0, et on pose bn+1=(an+bn) / 2 et an+1= an sinon.
a. Démontrer que ces suites sont convergentes et ont même limite.
On va démontrer que les deux suites sont adjacentes.
an+1-bn+1=(an-bn) / 2, suite géométrique de raison 1 / 2 et de premier  terme (a0-b0).
Donc quelque soit n entier naturel  an-bn=(a0-b0) / 2n = -1 / 2n.
La suite (an-bn) converge vers zéro.
De plus an+1-an =(bn-an) / 2 si (an+bn) / 2 appartient à E0, sinon zéro.
Or (bn-an) est positif, donc la suite (an) est croissante.
bn+1-bn =0 si (an+bn) / 2 appartient à E0, sinon (an-bn) / 2 ;
donc la suite (bn) est décroissante.
Les suites (an) et (bn) sont adjacentes et convergent vers la même limite.
b. Soit d la limite commune aux deux suites. Démontrer que l'intervalle ]-oo ; d [ est inclus dans E0 et l'intervalle [d ; +oo[ est inclus dans Eoo.
Démontrons par récurrence que an appartient à E0.
Initialisation : a0 = 0 appartient à E0. La propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : la propriété est supposée vraie au rang n.
Si (an+bn) / 2 appartient à E0, alors an+1 =(an+bn) / 2 appartient à E0, sinon an+1=an appartient à E0.
Conclusion : quelque soit n entier naturel, an appartient à E0.

Démontrons par récurrence que bn appartient à Eoo.
Initialisation : b0 = 1 appartient à Eoo. La propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : la propriété est supposée vraie au rang n.
Si (an+bn) / 2 appartient à E0, alors bn+1 =bn / 2 appartient à E0, sinon bn+1=(an +bn)/2 n'appartient pas à E0.
D'après la question 3, on déduit que bn+1 appartient à Eoo.
Conclusion : quelque soit n entier naturel, bn appartient à Eoo.

9. On pose c2 = ln(ln((2)), c3 = ln(ln(2ln(3))) et c4 = ln(ln(2ln(3ln(4))))  et plus généralement , pour tout entier l > 2, cl = ln(ln2ln(3ln(...ln((l-1)ln(l)...)))).
Démontrer que, pour tout entier l > 2, le nombre réel cl appartient à E0.
u0(c3) = ln(ln2(ln(3))) ;
u1(c3) = ln2(ln(3)) ;
u2(c3) = ln(3) ;
u3(c3) = 3 / 3 = 1.
Soit l > 2 ; ul(cl) = 1 < 1 ; d'après la question 2, on déduit que cl appartient à E0.
10. Démontrer que la suite (Cl) l >2 converge.
La fonction ln est strictement croissante ; donc la suite (
Cl ) est croisante et quel que soit l > 2,  l ln(l+1) > l.
11. Démontrer que d appartient à Eoo.
Hypothèse :
d appartient à E0.
Alors la suite (un(d))n > 0 converge vers zéro.
Il existe un entier N tel que pour un entier k > N,
uk(d) < 0,9 (ou tout autre nombre inf"rieur à 1)
uk(d) < uk(ck) soit d < ck ;
or il n'existe pas de nombres réels  strictement supérieurs à d qui appartiennent à E0. L'hypothèse est donc fausse.
d appartient donc à Eoo.




  

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