Température de surface d'une planète, influence de l'atmosphère, concours général 2021.

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Température de surface d'une planète
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Considérons une planète du système solaire suposée sphérique de rayon Rp et située à une distance d du soleil. La surface de la planète est modélisée comme un corps chaud de température de surface uniforme Tp émettant un rayonnement de puissance Pp donnée par la loi de Stefan-Boltzmann.
 Pp = s Tp4 A avec A aire de la surface de la planète et
s =5,67 10-8W m-2 K-4.
Le soleil est lui aussi modélisé comme un corps chaud sphérique de rayon Rs et  de  température de surface Ts dont le rayonnement émis suit la loi de
Stefan-Boltzmann.
1. Exprimer la puissance totale Ps émise par le soleil.
Ps = s Ts4 A avec A = 4pRs2 ; Ps = s Ts4 4pRs2 .
La puissance solaire étant émise de manière isotrope, seule une partie de cette puissance est effectivement reçue par la planète.  La puisance solaire PTS recue par la planète s'écrit :
PTS = Ps pRp2 / (4 pd2).
2. Interpréter le rapport des deux surfaces qui intervient dans cette relation.
A la distance d du soleil, la puissance solaire est dans une sphère de rayon d et de surface
4 pd2.
Puissance surfacique du soleil à la distance d : Ps
/ (4 pd2).
Surface de la planète recevant cette puissance :
pRp2 .
La planète réfléchit vers l'espace  une proportion A, appelée albédo, du rayonnement solaire incident.
3. Donner l'expression de la puissance solaire Pas absorbée par la planète.
Puissance réfléchie: A
PTS .
Pas = (1-A)PTS = (1-A)Ps Rp2 / (4 d2).
En absence d'atmosphère, la température de surface d'une planète du système solaire résulte d'un équilibre entre la puissance solaire absorbée et la puissance émise par la planète.
4. A l'équilibre thermique, écrire le bilan de puissance pour la surface de la planète et montrer que la température de surface Tp s'écrit Tp = Ts[(1-A)Rs2 / (4d2)]1/4.
Puissance reçue = puissance absorbée + puissance émise par la planète.
Ps Rp2 / (4 d2) = Pas +(1-A)Ps Rp2 / (4 d2).
Pas =(1-A)Ps Rp2 / (4 d2).
Loi de Stéfan : 
Pas = s Tp4 4 p Rp2.
(1-A)Ps Rp2 / (4 d2) = s Tp4 4 p Rp2.
(1-A)Ps / (4 d2) = s Tp4 4 p .
(1-A) s Ts4 4pRs2 / (4 d2) = s Tp4 4 p .
(1-A)  Ts4 Rs2 / (4 d2) =  Tp4 .
Tp = Ts[(1-A)Rs2 / (4d2)]1/4.
On donne la distance moyenne, l'albédo, la température de surface calculée et la température de surface mesurée de quelques planètes du système solaire.
Planète
mercure
vénus
terre
mars
jupiter
d( u.a)
0,39
0,72
1,00
1,52
5,2
A
0,12
0,75
0,31
0,25
0,34
Tp( K )
430
230

210
110
Tmes(K)
400
730
290
225
124
1 u.a = 1,5 1011 m.
5. Calculer la température de surface de la terre dans le cadre du modèle sans atmosphère.
Tp = Ts[(1-A)Rs2 / (4d2)]1/4.
Ts = 5,78 103 K ; Rs = 6,95 108 m ; d = 1,5 1011 m.
Tp = 5,78 103[(1-0,31)(6,95 108)2 / (4(1,5 1011)2)]1/4 =2,5 102 K.
6. Sur le même graphique, représenter la température de surface Tp calculée et la température moyenne mesurée en fonction de la distance moyenne d.

7. Discuter de la pertinence du modèle sans atmosphère.
A l'exeption de Vénus ( albédo importante), les températures correspondent.
Ce modèle est pertinent dans la mesure ou l'albédo n'est pas trop grande.

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Influence de l'atmosphère sur la température de surface de la terre
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L'atmosphère terrestre est modélisée par une unique couche gazeuse homogène qui enveloppe l'ensemble de la planète. Elle est supposée transparente dans le domaine visible de  telle sorte qu'elle n'absorbe pas le rayonnement solaire incident mais en réfléchit une proportion A vers l'espace. La surface terrestre est modélisée par un corps chaud de température uniforme TT émettant un rayonnement infrarouge de puissance Pa en direction de l'espace et de la terre. La surface terrestre absorbe à son tour le rayonnement infrarouge provenant de l'atmosphère.
Bilan de puissance en présence d'une atmosphère.

Puissance solaire reçue par la terre : Prs = Ps pRT2 / (4 pd2).
8 . A l'équilibre thermique, écrire le bilan de puissance pour la terre.
(1-A)Prs+Pa= PT. (1)
9. A l'équilibre thermique, écrire le bilan de puissance pour l'atmosphère.
Prs+PT =APrs+Pa+(1-A)Prs+Pa ;
PT =2Pa.(2)
10. En déduire que la température de surface de la terre TT s'écrit :  TT = Ts[(1-A)Rs2 / (2d2)]1/4.
(2) donne : Pa = 0,5 PT ;
 repport dans (1) :
(1-A)Prs+0,5 PT= PT :
(1-A)Prs= 0,5 PT.
Prs = Ps pRp2 / (4 pd2) et Ps = s Ts4 4pRs2 .
(1-A) Ps pRp2 / (4 pd2)=0,5 PT.
(1-A)  s Ts4 4pRs2  pRT2 / (4 pd2)= 0,5PT.
PT = s TT4 4pRT2
(1-A)  s Ts4 4pRs2  pRT2 / (4 pd2) s TT4 4pRT2 / 2
(1-A)   Ts4 Rs2  / (4 d2)  TT4 / 2.
(1-A)   Ts4 Rs2  / (2 d2)  TT4.
TT = Ts[(1-A)Rs2 / (2d2)]1/4.
11. Calculer la température de surface de la terre et commenter.
TT = Ts[(1-A)Rs2 / (2d2)]1/4.
TT = 5,78 103[(1-0,31)(6,95 108)2 / (2x(1,5 1011)2)]1/4=3,0 102 K.
Cette valeur est en accord avec la température mesurée 290 K.
12. Comment nomme t-on l'effet d'augmentation de la température de la surface de la terre en raison de la présence de l'atmosphère ?
C'est l'effet de serre.




  

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