Mathématiques. Concours CAPLP 2020.

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Exercice 1. 2020.
Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.
1. La matrice suivante est-elle inversible ? Non.

Le déterminant de la matrice étant nul, elle n'est pas inversible.

 2. La relation suivante est-elle égale à 2 ? Vrai.

Somme des termes d'une suite géométrique de raison 1 /2.

3. Soit f la fonction définie sur [-1 ; 1] par  :
La fonction f est continue sur [-1 ; 1] et dérivable sur ]-1 ; 1[. vrai.
La fonction est impaire ; le graphe est symétrique par rapport à l'origine.
Au voisinage de zéro :

4. On considère un cône C dont le diamètre de la base et la hauteur mesurent 1 unité, et une boule B de diamètre 1 unité. Les volumes de C et de B sont dans le ratio 1 / 2. vrai.
Volume du cône : pR2 H / 3 =3,14x0.52/3 ; volume de la boule : 4 /3 pR3=4 x3,14 x0,53/3
Les volumes de C et de B sont dans le ratio 1 / 2.
 
5. On a la relation : Faux.
On pose u = -(1+x2) ; u' = x / (1+x2)-3/2 ;

6. Soit la suite (un) définie par un = cos(n) sur N*et la suite (vn) définie par vn = 1 / n½ sur N* La suite (unvn) converge  et sa limite en plus l'infini est zéro. Vrai.
cos(n) est compris entre -1 et +1 ;
1 / n½ tend vers zéro si n tend vers l'infini ; la limite de la suite (unvn) en plus l'infini est zéro.



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  7. La documentation technique d'une machine fabriquant des pièces dans une usine indique que, quand la machine est bien réglée, les pièces présenteront un défaut dans 0,8 % des cas. On s'intéresse à un échantillon de 800 pièces prélevées au hasard dans le stock. On suppose que le stock est suffisamment grand pour que l'on puisse assimiler cela à un tirage au sort avec remise.
Un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence des pièces sans défaut au seuil de 95 % est [0,985 ; 0,999]. Vrai.
p = 0,008 ; 1-p =0,992 ; n = 800 ; 1,96 [p(1-p) /n]½ =0,0062.
Intervalle de fluctuation asymptotique : [0,992 -0,0062 ; 0,992 +0,0062) soit [0,985 ; 0,999].

8. Soit la fonction f définie sur R-{-1 ; 1} par f(x) = (x3+2x2) / (x2-1). La courbe représentative admet une asymptote oblique en -oo et en +oo. Vrai.
(x3+2x2) / (x2-1) =x+2+(x+2) / (x2-1).
f(x) -(x+2) =
(x+2) / (x2-1).
f(x) -(x+2) tend vers zéro en plus l'infini et en moins l'infini. La droite d'équation y = x+2 est asymptote à la courbe représentative.

9. L'équation différentielle y" -3y' +2y = x2-3x a pour ensemble de solutions réeeles :
A ex+ B e2x. Faux.
Equation sans second membre :
y" -3y' +2y =0.
Equation caractéristique : r2-3r+2 = 0; solutions r = 1 et r = 2.
Solution générale de
y" -3y' +2y =0  : y =A ex+ B e2x.
Il faut ajouter une solution particulière, par exemple ½x2-½.
y =
A ex+ B e2x+½x2-½.

10. Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé Oxy, soit D la droite d'équation x+y+1 =0 et soit G le cercle d'équation x2+y2-2x-1=0. La droite est tangente au cercle. Vrai.
y = -x-1; x2 +(-x-1)2-2x-1=0 ; x2 +x2+2x+1-2x-1=0 ; 2x2 = 0 soit x=0 et y =-1.
Le cercle et la droite possèdent un seul point d'intersection.
11. On considère une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre l. On sait que P(X < 20) = 0,5. l = 1 /20. Faux.
P(X < 20) =1-e-20 l = 0,5 ; e-20 l = 0,5 ; -20 l =ln (0,5) ; l = ln(2) /20. 

12. On considère la fonction g dans C qui à tout nombre complexe z associe le nombre complexe g(z) =z2 +2z+9. dans le plan complexe, l'ensemble des points M d'affixe z tels que g(z) soit un nombre réel est une droite. Faux.
z = x+iy ; g(z) = (x+iy)2 +2(x+iy) +9.
g(z) = x2-y2+2i xy +2x+2i y+9 ; la partie imaginaire est nulle soit 2xy+2y =2y(x+1)=0.
y=0 ou x = -1.
L'ensemble des points cherchés appartiennent à la droite d'équation y = 0 et à la droite d'équation x = -1.





  

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