Pompe, équation de Bernoulli généralisée. Concours CAPLP 2020.

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Equation de Bernoulli généralisée.
21. Ecrire l'équation de Bernoulli entre deux points quelconques E(entrée) et S (sortie) dans un fluide parfait homogène et incompressible en écoulement stationnaire irrotationnel dans un référentiel galiléen, en absence de toute machine tournante.
½r(vS2 -vE2) + rg(zS-zE) +PS-PE =0.
22. Ajouter le terme nécessaire à l'équation précédente si on prend en compte la présence d'une pompe qui ajoute une variation de pression DPp >0 entre l'entrée et la sortie.
½r(vS2 -vE2) + rg(zS-zE) +PS-PE =DPp.
23. Quelle hypothèse de la question précédente n'est plus valable quand les pertes de charges sont prises en compte ? Ajouter le terme nécessaire à l'équation précédente si on prend en compte la variation de pression DPf >0 à cause des frottements entre l'entrée et la sortie
Le fluide n'est pas parfait, il est visqueux.
½r(vS2 -vE2) + rg(zS-zE) +PS-PE =DPp - DPf.
24. En déduire que la hauteur manométrique totale de la pompe peut se mettre sous la forme :
HT =
DPp /(rg) = vS2 / (2g) +zS+PS / (rg) -(vE2 / (2g) +zE+PE / (rg))+DPf /(rg).
vS2 / (2g) +zS+PS / (rg) -(vE2 / (2g) +zE+PE / (rg))=DPp /(rg)-DPf /(rg).
DPp /(rg) =vS2 / (2g) +zS+PS / (rg) -(vE2 / (2g) +zE+PE / (rg))+DPf /(rg).
 
Dimensionnement de la pompe.
Le débit moyen de la pompe est choisi plus petit que le débit maximal du forage. Il est égal à Qv = 2,5 m3 / h.
On veut déterminer la hauteur manométrique totzle HT que la pompe doit fournir si on met en place un tuyau de diamètre intérieur d = 32 mm dont la rugosité maximale est estimée à e = 0,032 mm lorsqu'il est usagé.
On prendra r = 1,0 103 kg m-3 ; µ = 1,0 10-3 Pa s et g = 10 m s-2.
25. Déterminer la valeur numérique du coefficient relatif de rugosité  e / d et celle du nombre de Reynolds Re = rVd / µ.
e / d =0,032 / 32 =1,0 10-3.
Qv = 2,5 m3 / h = 2,5 / 3600 =6,94 10-4 m3 /s.
Section du tuyau : S = 3,14 d2 / 4 =3,14 x(32 10-3) 2 / 4 =8,04 10-4 m2.
Vitesse V =
Qv / S =6,94 / 8,04 ~0,86 m /s.
Re =1000 x0,863 x32 10-3 / 10-3 =2,75 104~3 104.
26. En déduire le facteur de friction f.


f = 0,026.

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27. On  appelle longueur équivalente d'un obstacle à l'écoulement d'un fluide, la longueur de conduite droite de même diamètre qui produirait la même perte de charge. Déterminer les longueurs équivalentes pertinentes  en positionnant le point E à la surface libre du forage et S à la surface libre du chateau d'eau.

4 coudes courbures moyenne : 4 x0,9 = 3,6 m.
Clapet anti-retour ( identique à un coude à 180°) : 2,4 m.
Compteur (identique clapet anti-retour) : 2,4 m.
2 robinets-vanne : 2 x0,2 = 0,4.
Total Le = 9,2 m
28. Connaissant la formule de Darcy : DPf = f rV2(L+Le) / (2d), en déduire la hauteur manométrique totale HT que la pompe doit fournir.
L =45 +8,3 +5=58,3 m.
DPf =0,026 x1000 x0,862(58,3+9,2) /(2x32 10-3)~2,0 104 Pa.
29. On admet que HT = 45 m. Quelle doit être la puissance crète totale des panneaux photovoltaïques à installer en réalité ?
DPp =HT rg =45 x1000 x10 =4,5 105 Pa.
Puissance de la pompe :
DPp Qv =4,5 105 x6,94 10-4 ~300 W.
Puissances autres appareils ( LED, radio, réfrigérateur ) : 80 W
Total : 380 W.




  

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