Les canons à neige. Concours CAPLP 2018.

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Pour produire de la neige de culture, il faut projeter dans l'air à température négative, un brouillard d'eau très finement pulvérisée, à grande distance. Sous l'influence de l'air froid, les gouttelettes d'eau de refroidissent et se congèlent avant de retomber au sol. L'ennneigement est assuré par 12 canons incliné de 15 ° par rapport à la verticale. Ils projettent de l'eau froide avec un débit total Dt = 150 m3 / h et une vitesse de sortie vs = 90 m /s.
Une station de pompage est installée au niveau d'un lac. H = 75 m

Alimentation des canons.
On se place en régime permanent et on considère l'écoulement de l'eau comme parfait.

66. Déterminer les valeurs numériques du débit volumique Dv d'un canon, du diamètre d des buses de sortie d'eau ( au point S) et de la vitesse vB de l'eau en sortie de pompe ( point B).
Dv = Dt / 12 =150 / 12 = 12,5 m3 / h ou 12,5 / 3600 =3,47 10-3 m3 / s.
Dv = S vs avec S, section des buses.
S = 3,47 10-3 / 90 =3,86 10-5 m2.
3,14 d2 / 4 =
3,86 10-5  ; d = 7,00 10-3 m = 7,00 mm.
Conservation du débit volumique entre les points B et S :
3,14 D2 / 4 vB =Dt ; vB = 4 x150 / 3600 /(3,14 x0,0602)=14,7 m /s.

67. Calculer la vitesse vc du fluide au point C.
Dv =3,14 D2 / 4 vc  ; vc =4 x3,47 10-3 /(3,14 x0,0602)=1,23 m /s.
68. En appliquant la relation de Bernoulli entre les points C et S, calculer la pression d'alimentation d'un canon Pc.
½rvc2 +rgzc +Pc =½rvs2 +rgzs +Ps .
Pc =½r(vs2 -vc2) + rg(zs-zc) +Patm.
Pc =0,5 x1000 (902-1,232)+1000 x9,8 x11,435 +105 =4,05 106 +1,12 105 +105 =4,26 106 Pa = 42,6 bar.
69. La vitesse de l'eau en A étant négligeable par rapport à vs, faire un bilan énergétique entre le point A et les points de sortie S et en déduire la puissance de la pompe.
Appliquer la relation de Bernoulli entre les points A et S :
½r(vs2 -vA2) + rg(zs-zA) +PS-Patm = P / Qt.
½r vs2 + rg(H1+H) = P / Qt.
0,5 x1000 x 902 +1000 x9,8 x(75+11,435) = P / Qt.
4,05 106 +8,47 105 =P / Qt.
P = 4,9 106 x 150 / 3600 =2,04 105 W = 204 kW.

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Portée du canon
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70. En négligeant les frottements de l'air, appliquer le principe fondamental de la dynamique à une gouttelette d'eau sortant du canon à une hauteur H1 au dessus du sol avec une vitesse vs inclinée d'un angle a par rapport à l'horizontale, et montrer qu'elle atterit à une distance X du canon telle que  X = vs cos a / g [vs sin a +((vs sin a)2+2gH1)½].
La gouttelette n'est soumise qu'à son poids.
Accélération : a  = -g ( axe vertical orienté vers le haut.
La vitesse est une primitive de l'accélération : vx = vs cos a ; vz = -gt +vs sin a.
la position est une primitive de la vitesse :
x = vs cos a t ; z = -½gt2 +vs sin a t + H1.
t = x / ( vs cos a ) ; z = -½g(x / ( vs cos a )2 + x tan a +H1.
Au sol, z = 0 : -½g(X / ( vs cos a )2 + X tan a +H1 = 0.

71. Calculer X si a = 20°.
X = 90 cos 20 / 9,8 [90 sin 20 +((90 sin20)2+2x9,8 x11,435)½).
X = 8,63 (30,78 +(947,5 +224,12)½) =8,63(30,78 +34,22) =561 m.
72. En quoi ce modèle est-il criticable ?
Cette valeur 561 mest trop grande, elle ne correspond pas à la réalité. Il faut prendre en compte les frottements.





  

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