Expériences historiques en physique : Galilée, Young, Joule, Hertz.

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Galilée et la chute des corps.
Dans toute cette première partie, le référentiel terrestre est supposé galiléen. On note t la variable associée au temps et g l’intensité du champ de pesanteur terrestre (on prend g≈10 m.s−2 et on considère ce champ uniforme). On néglige également l’effet de la poussée d’Archimède.

Pour Aristote, la vitesse de chute d’un mobile est proportionnelle à son poids.
Cependant, Galilée proposa l’expérience de pensée suivante : […].
Considérons deux masses m1 et m2< m1 en chute libre. D’après Aristote, la masse m1 atteint le sol avant la masse m2. En reliant, à l’aide d’un fil, les masses m1 et m2, on obtient alors un système (S) plus lourd que la masse m1 seule et donc a priori plus rapide pendant sa chute. Cependant ce système (S) est ralenti par la masse m2 (m2 plus lente faisant l’effet « d’un parachute »). (S) est donc plus lent que la masse m1 seule alors qu’il est plus lourd, il y a donc un paradoxe…. Étienne Klein, extrait d’une conférence intitulée « De quoi l’énergie est-elle le nom ? »

 En 1602, Galilée a l’intuition que le mouvement de chute libre (c’est-à-dire sans frottement) d’un corps dans le champ de pesanteur terrestre est indépendant de la masse de ce corps. Mais il se heurte à l’impossibilité de mesurer précisément la vitesse d’un corps tombant à la verticale. Galilée entreprit alors d’étudier le mouvement de chute de corps à l’aide d’un plan incliné d’un angle a par rapport à l’horizontale. On note Oz l’axe vertical ascendant et Ax l’axe confondu avec la ligne de plus grande pente du plan incliné. On pose OA =h.

Ne disposant pas de chronomètres précis, Galilée fait rouler des billes sur un plan incliné en faisant teinter des chlochettes que la bille fera sonner en passant.. Il dispose ces chlochettes à intervalles variables sur le plan jusqu'à obtenir un son régulier.
Le tintement est régulier lorsque les chlochettes sont placées à des intervalles 1, 3, 5, 7...
En une unité de temps, la bille parcourt une unité de distance.
En 2 unités de temps, la bille parcourt 3+1=4 unités de distance.
En 3 unités de temps, la bille parcourt 5+3+1=9 unités de distance.
On souhaite étudier cette expérience de Galilée en analysant le mouvement d’un mobile, assimilé à un point matériel de masse m repéré par le point M, lâché sans vitesse initiale depuis le point A. On néglige tout frottement lors de cette chute s’effectuant sur le plan incliné .
Q1. Déterminer, à l’aide de la relation fondamentale de la dynamique, l’accélération x" ̈(t)= a du point M en fonction de g et a.
Le système est soumis à son poids et à l'action du plan.

. Q2. Exprimer le temps de chute t0 nécessaire pour parcourir, suivant la ligne de plus grande pente, la distance ℓ en fonction de g, h et ℓ. Commenter.
La vitesse est une primitive de l'accélération et la vitesse initiale est nulle : v(t) = g sin a t avec sin a = h / l.
La position est une primitive de la vitesse et la position initiale est l'origine de l'axe Ax.
x =½g h / l t2.
l =½g h / l t02;  t02=2l2 / (gh) ; t0 = l (2 /(gh))½.
Si le temps double, alors la hauteur h quadruple ; si le temps double, la distance parcourue sur le plan incliné est multipliée par 4.
Pour un mobile partant du repos et en négligeant les frottements, la distance parcourue est proportionnelle au carré du temps.
Q3. Un enseignant pose la question à choix multiple suivante :
Soient deux points matériels P1 et P2 de masses respectives m1 et m2 (m2 < m1). On lâche ces deux masses, sans vitesse initiale, d’une hauteur h sur un plan incliné. Quel mobile touche le sol en premier ? On néglige l’effet des frottements. »
A) P1 ; B) P2 ; C) P1 et P2 touchent le sol en même temps.
15 élèves répondent A) et 20 répondent C).
Proposer une remédiation.
Expérience du tube de Newton dans lequel on fait le vide. Une feuille et une bille en acier partant du repos, touchent en même temps le sol.


Expérience des trous d'Young.
Dans toute cette partie, l'air possède les propriétés optiques assimilables à celles du vide.
En 1801, T Young entreprend une expérience d'interférences visant à démontrer que la lumière visible peut être décrite comme une onde scalaire : on parle de vibration lumineuse. L'observation expérimentale de cette figure d'interférences a permis de remettre en cause le modèle particulaire de la lumière que Newton avait proposé au 17è siècle.
En classe, on peut facilement mettre en évidence l'interférence à deux ondes lumineuses à l'aide du montage représenté ci-dessous. Il est constitué :
- d'un laser émettant un faisceau lumineux cylindrique d'axe Oz. Cette source est supposée monochromatique, de pulsation w et de longueur d'onde l0.
- d'un plan E percé de deux trous circulaires, identiques, de rayon b, distants de a et centrés sur les points S1 ( 0 , ½a , -D et S2 ( 0 , -½a ; -D). Le faisceau éclaire entièrement et de manière uniforme ces deux trous sources.
- d'un écran de projection E' parallèle à E et situé à une distance D de (E) telle que D >> a. ( On choisit D = 1 m, a = 0,5 mm). Un point M quelconque de l'écran (E') est repéré par les variables ( x, y, 0). Le champ d'onservation est tel que |x| << D et |y | << D.

Q1. Montrer que l'éclairement E(M) en M est donné par : E(M)= 2 E0 [ 1 + cos ( 2 p a y) / ( l0D)] si on considère que les vibrations lumineuses au point M, issues des deux trous source S1 et S2, sont décrites respectivement par les expressions s1(M, t) = S0 cos [wt-2p S1M / l0] et
s2(M, t) = S0 cos [wt-2p S2M / l0]. S0 est une constante. E0  est l'éclairement qui serait obtenu en masquant l'un des deux trous. Décrire la figure d'interférences.
Au point M de l'écran :
vibration résultante : s(M,t) =s1(M, t) +s2(M, t) =S0 ( cos [wt-2p S1M / l0]+cos [wt-2p S2M / l0] ).
éclairement : E(M)= < s(M, t) 2>
E(M)=  S20 ( < cos2 [wt-2p S1M / l0] > + < cos2 [wt-2p S2M / l0] )>+ < cos [wt-2p S1M / l0].cos [wt-2p S2M / l0] > ).

< cos2 [wt-2p S1M / l0] > = < cos2 [wt-2p S2M / l0] )>0,5.

< cos [wt-2p S1M / l0].cos [wt-2p S2M / l0] > = < cos [2wt-2p S1M / l0+2p S2M / l0] >+ < cos[ 2p S2M / l0-S1M / l0] >.
< cos [2wt-2p S1M / l0+2p S2M / l0] > = 0

E(M)=  S20 ( 1+  cos[ 2p  / l0 (S2M-S1M)] ).
S1M2 =(y-½a)2 +x2 +D2.
S2M2 =(y+½a)2 +x2 +D2.
S2M2 -
S1M2 =2ay.
S2M2 -
S1M2 =(S2M+S1M)
(S2M-S1M) avec S2M+S1M ~2D.
S2M-S1M~ay / D.
E(M)= 
S20
[ 1 + cos ( 2 p a y) / ( l0D))] avec S20=2 E0.

Q2. Comparer l'éclairement calculé à la question précédente avec la figure ci-dessous obtenue expérimentalement sur l'écran (E'). Quel autre pphénomène optique doit-on prendre en compte pour comprendre cette figure expérimentale ?


Dans la formule ci-dessus, la variable x n'apparaît pas. L'éclairement dépend par contre de la variable y : les franges d'interférences seront donc  h
orizontales. Les cercles sont dus au phénomène de diffraction par les deux trous S1 et S2.
Q3. Montrer que cette figure permet d'estimer les valeurs de la longueur d'onde l0 et de b.
Les  franges lumineuses correpondent aux interférences constructives pour lesquelles
cos ( 2 p a y) / ( l0D)) = 1.
2 p a y / ( l0D) = 2 k p avec k entier relatif.
a y / ( l0D)= k
Interfrange, distance entre deux franges lumineuses consécutives : i = l0D / a.
Sur la figure, 1,0 cm correspond à 10 interfranges : i =1,0 10-3 m.
l0=a i / D=5,0 10-4 x 1,0 10-3 / 1 =5,0 10-7 m.
Largeur de la tache de diffraction : L =2 l0 D / b  = 2,0 cm.
b =
2 l0 D / L =2 x 5,0 10-7 x 1 /(2,0 10-2) =5,0 10-5 m.
 

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Expérience de Joule.
En 1843, James Prescott Joule proposa une expérience permettant de mesurer l'équivalent mécanique de la chaleur.
Une masse m = 3 x101 kg, initialement immobile à une hauteur H = 2 m, entraîne la rotation d'ailettes lors de son mouvement de chute. Ce mouvement de translation de la masse m est converti en mouvement de rotation à l'aide d'un fil inextensible, encastré dans une poulie et enroulé autour de l'axe de rotation des ailettes. Les ailettes sont dans une enceinte supposée calorifugée et remplie d'eau ( l'eau est supposée initialement au repos ). On note T la température de la masse d'eau présente dans l'enceinte et mesurée à l'aide d'un thermomètre. On néglige tous les frottements, sauf ceux associés à la viscosité de l'eau présente dans le calorimètre. On donn g = 4 x 101 m s-2.
Le travail des forces de viscosité de l'eau est à l'origine d'une augmentation de la température T. J.P Joule associe cette élévation de température à un transfert thermique équivalent Q ( exprimé en calorie ( cal)). La capacité thermique de l'ensemble du calorimètre ( eau, ailettes et enceinte ) vaut c = 5 kcal K-1. J.P. Joule effectue à 20 reprises le mouvement de chute de la masse m sur une hauteur H et note la variation de température DT = 0,6 °C. On note W le travail mécanique  du poids, exprimé en joule (J), mis en jeu lors des mouvements de chute et A la valeur de l'équivalent mécanique de la chaleur tel que A = W / Q.
Q1. Déterminer la valeur de A et interpréter la valeur obtenue.
W = m g H = 3 x 101 x 1 x101 x 2 x 20~1 x 104 J.
Q = c DT = 5 x 0,6 =3 kcal = 3 103 cal.
A =W / Q = 1 x 104 / (3 x 103) ~ 3  J cal-1.
Valeur bien différente de 4,185 J / cal ( écart relatif ~30 %). L'ensemble des mesures sont peu précises. Toutes les valeurs sont données avec un seul chiffre significatif.

Autre exemple de conversion d'un travail en transfert thermique : la bouilloire.
Activité expérimentale en terminale.
Vous avez à disposition une bouilloire, un thermomètre, une balance, un chronomètre et un wattmètre.
Proposer  puis réaliser un protocole permettant d'obtenir le rendement de la bouilloire.
Mesure de la masse d'eau contenue dans la bouilloire :
Peser la bouilloire vide, puis peser la bouilloire contenant une masse m d'eau.
Repérer la température initiale de l'eau.
Brancher  le wattmètre puis la bouilloire tout en faisant démarrer le chronomètre.
Relever la température de l'eau au bout d'une minute.
Résultats obtenus :
Température initiale Ti(°C)
Température finale Tf(°C) Masse d'eau m (kg)
Temps de chauffage Dt (s)
Puissance moyenne consommée P (W)
30,0 ±0,5
48,5 ±0,5
1,670 ±0,005
67,0 ±0,5
2515 ± 5
Capacité thermique massique de l'eau c = (4185 ± 1 ) J kg-1 K-1.
Déterminer le rendement de la bouilloire avec une estimation de son incertitude. Commenter.
Energie gagnée par l'eau :
Q = m c DT =1,670 x 4185 (48,5-30,0)=1,29 105 J.
Incertitude sur la différence de température : u(
DT) =[u(Ti)2+u(Tf)2]½ .
u(DT) =[0,52+0,52]½ =0,7 °C.
Incertitude sur Q : u(Q)= Q [(u(m) / m )2 +(u(c) / c )2 +(u(DT) / DT )2]½.
u(Q)= 1,29 105 [(0,005 / 1,670 )2 +(1 / 4185 )2 +(0,7 / 18,5 )2]½.
u(Q) =1,29 105(9 10-6 +6 10-8 +1,4 10-3)½=4,9 103 J.
Q =(1,29 ±0,05) 105 J.

Energie électrique consommée : E = P Dt=2515 x 67,0 =1,69 105 J.
Incertitude sur E : u(E)= E [(u(P) / P )2 +(u(Dt) / Dt )2]½.
u(E)= E [(u(P) / P )2 +(u(Dt) / Dt )2]½.
u(E)= 2515 [(5 / 2515 )2 +(0,5 / 67 )2]½=2515 [4 10-6 +5,6 10-5]½=19,4 J.
E =(1,69 ±0,0002)105 J.

Rendement : h =Q / E =1,29 105 / (1,69 105)=0,763.
Incertitude sur le rendement : u(h)= h [(u(E) / E )2 +(u(Q) /  Q)2]½.
u(h)=0,763 ( 19,4/ (1,69 105 )2 +(4,9 103) /  (1,29 105)2]½.
u(h)=0,763  (1,3 10-8 +1,4 103)½ =0,03.
h =0,76 ±0,03.
Il y a des pertes thermiques lors de l'expérience. L'énergie électrique est utilisée pour chauffer l'eau et les matériaux constituants la bouilloire.
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Expérience de Hertz.
En 1888, Hertz proposa un dispositif permettant de démontrer le caractère ondulatoire des phénomènes électromagnétiques en utilisant un oscillateur ( à l'origine de l'émission d'une onde électromagntique supossée quasi-sinusoïdale et de fréquence h0 = w0 / (2p), une antenne de  réception et des plaques de zinc.
La présence  d'une plaque de zinc en z=0, supposé être un métal parfaitement conducteur, permet une réflexion des champs électromagnétiques dans l'espace z < 0.

Hertz pensait que si le champ électromagnétique était une onde alors, comme dans le cas de la corde de Melde, la formation d'une onde stationnaire était possible dans l'espace z <0 par superposition d'une onde incidente décrite, en représentation complexe par l'expression  et d'une onde réfléchie décrite par  où E0, F, E0,r sont des constantes réelles
 et k0 = w0 / c est le nombre d'onde.
Q1. En admettant que la relation de passage vérifiée par le champ électrique totale s'écrive  et que le champ électrique soit nul dans le métal, montrer que l'on peut choisir E0 = -E0,r ; F = 0
Dans l'hypothèse où
E0 = -E0,r ; F = 0 :

En accord avec un champ électrique nul dans le zinc, conducteur supposé parfait.
Le champ magnétique résultant est donné par l'expression 
L'antenne de réception est modélisée par un circuit filiforme de géométrie carrée (  côtés de longueur a). On repère par zC le centre de l'antyenne.
Q2. Expérimentalement, on fixe k0a << 1, justifier que l'on puisse approcher le champ magnétique par l'expression en tout point de la surface de la surface carrée délimitée par le contour de l'antenne.

k0 = 2 p / l ; 2 p a / l << 1.
Si la longueur d'onde l est très supérieure aux dimensions de l'antenne, la variation spatiale du champ électrique est négligeable.
Q3. Déterminer l'expression de la force électromagnétique induite e qui apparaît dans l'antenne en utilisant la loi de Faraday.
e= - dF / dt =  -2E0 / c w0 a2 cos(k0 zc) sin (w0t).
Q4. En déduire l'expression de la distance dm entre deux points consécutifs de l'axe Oz où l'amplitude de la fem induite e est maximale.
Deux points distants de dm sont tels que : k0dm = p ;
dm = p / k0.
 Hertz en observant ces maxima de tension ( qui se traduisaient par la présence  d'étincelles au niveau de l'antenne ) valida la théorie des champs électromagnétiques. Il mesura dm = 5,0 m.
Q5. Donner la valeur de la fréquence h0 en MHz de l'onde électromagnétique que Hertz devait détecter.
h0 = w0 / (2p) =k0c /(2p) = c /(2dm) =3,0 108 / (2 x 5,0) = 30 106 Hz = 30 MHz.

Etude d'une transmission hertzienne.
On considère une antenne d'émission rayonnant une puissance Pe en direction d'une antenne de réception captant une puissance Ps. La puissance détectée doit être supérieure à une puissance notée Préf afin que la liaison hertzienne puisse être possible. Ces deux antennes sont distantes d'une distance d et on note l << d la longueur de l'onde électromagnétique émise.
Même sans obstacle ( espace libre ), la puissance Ps captée ne représente qu"une fraction de la puissance Pe rayonnée dans l'espce.
Ps / Pe = (l / (4pd))2.
Soit d = 10,0 km la distance entre les deux antennes, on réalise une communication hertzienne à la fréquence de 8,00 GHz.
1. Déterminer, en absence de précipitation, la valeur de l'affaiblissement A donné par A = 10 log ( Pe /Ps) lors d'une transmission entre ces deux antennes.
l = c / n =3,00 108 / (8,00 109)=0,0375 m.
Ps / Pe =(0,0375 / (4 x3,14 x 1,0 104))2 =8,9 10-14.
A = 10 log(1 / (8,9 10-14)) =130,5 dB.
2. A l'affaiblissement A calculé précédemment vient s'ajouter un affaiblissement dû aux précipitations. Déterminer la nouvelle valeur  de l'affaibllissement A' en présence de précipitations dont l'intensité est de 100 mm / h.

A' = A +32 x10 = 130,5 +320 =450,5 dB.

Principe d'une transmission hertzienne.
Dès les années 1920 ont été établies les premières radio-télécommunications. Le principe de ces communications consistait à transmettre un signal utile et analogique u(t) à l'aide d'un autre signal p(t) appelé porteuse. Avec un modulateur ( réalisant une modulation d'amplitude), on obtient un signal modulé s(t) qui peut facilement être rayonné par une antenne après amplification. Une antenne de réception suivie d'un circuit électroniique de réception permet ensuite de récupérer le signal u(t).
On pose u(t) = Um cos (wt) ; p(t) = Pm cos (Wt) où Um, Pm, w et W > w sont des constantes.
1. Représenter le spectre  du signal s(t) = u(t) x p(t).
s(t) = Um Pm cos (wt) cos (Wt)
s(t) =
0,5 Um Pm [ cos ((w+ W)t) + cos (cos ((W- w)t)].
Son spectre est le suivant :

2. Dessiner l'allure du spectre de s(t) dans le cas où u(t) est un signal complexe dont le spectre est le suivant :


Actuellement, les modulations d'amplitude sont utilisées pour des communications de courtes distances et utilisent des signaux u(t) numériques moins sensibles aux bruits. Les moduletions d'amplitudes de type OOK sont les plus simples car un état haut de u(t) impose s(t) = p(t) et un état bas de u(t)  impose s(t) = 0.
On donne l'oscillogramme et le spectre d'un signal s(t) issue d'une modulation de type OOK que l'on souhaite transmettre par voie hertzienne.

Ce signal s(t) est rayonné par une antenne d'émission et sa réception se fait au moyen d'une antenne et d'un circuit de  réception. Ce circuit de réception contient, entre autres, un filtre passe bande permettant de conserver s(t) et d'atténuer les signaux de fréquences différentes que l'antenne de  réception a pu capter.
3. On suppose que le circuit de réception utilisé est constitué uniquement d'un dipôle résistif de résistance R = 100 ohms, d'une bobine d'inductance L et d'un condensateur de capacité C. Ce système sélectif présente un gabarit tel que sa  bande passante à -3 dB vaut  10 MHz.
Proposer un schéma de filtre, en précisant les valeurs de L et C permettant de respecter ce gabarit.
 
Toutes les grandeurs soulignées sont des nombres complexes.
A ces grandeurs on peut appliquer les lois du courant continu.
Le pont diviseur de tension conduit à : H(jw) = s / e

expression du gain G(w): norme de la fonction de transfert

Ce gain est maximum pour x = 1. Gmax = 1.
La pulsation de coupure wc est telle que G = Gmax / 2½.
1+ Q2(x-1/x)2 = 2 ; Q2(x-1/x)2 = 1 ; (x-1/x)2 = 1 / Q2 ;
x-1/x = ±1 / Q soit  x2 -x / Q -1 = 0 ou x2 +x / Q -1 = 0.
Discriminant D = 1 / Q2 +4.
On retient les racines positives soit : x1= [1/Q+ (1 / Q2 +4)½ ] / 2 et  x2= [-1/Q+ (1 / Q2 +4)½ ] / 2 .
La bande passante est telle que : x1-x2=1 / Q =R / (L w0) soit Dw =R / L.
R = 100 ohms ; Dw =2 p Df =2 *3,14 x1,0 107 =6,28 107 rad / s.
L = 100 / (6,28 107) ~1,6 10-6 H.
C = 1 / (Lw02) =1 / (L 4p2 f02) =1 / (1,6 10-6 * 4*3,142 *(40 106)2) =9,9 10-12 F.


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