Expérience des trous d'Young et applications.

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Dans toute cette partie, l'air possède les propriétés optiques assimilables à celles du vide.
a. Quelques aspects historiques.
En 1801, T Young entreprend une expérience d'interférences visant à démontrer que la lumière visible peut être décrite comme une onde scalaire : on parle de vibration lumineuse. L'observation expérimentale de cette figure d'interférences a permis de remettre en cause le modèle particulaire de la lumière que Newton avait proposé au 17è siècle.
En classe, on peut facilement mettre en évidence l'interférence à deux ondes lumineuses à l'aide du montage représenté ci-dessous. Il est constitué :
- d'un laser émettant un faisceau lumineux cylindrique d'axe Oz. Cette source est supposée monochromatique, de pulsation w et de longueur d'onde l0.
- d'un plan E percé de deux trous circulaires, identiques, de rayon b, distants de a et centrés sur les points S1 ( 0 , ½a , -D et S2 ( 0 , -½a ; -D). Le faisceau éclaire entièrement et de manière uniforme ces deux trous sources.
- d'un écran de projection E' parallèle à E et situé à une distance D de (E) telle que D >> a. ( On choisit D = 1 m, a = 0,5 mm). Un point M quelconque de l'écran (E') est repéré par les variables ( x, y, 0). Le champ d'onservation est tel que |x| << D et |y | << D.

Q6. Montrer que l'éclairement E(M) en M est donné par : E(M)= 2 E0 [ 1 + cos ( 2 p a y) / ( l0D)] si on considère que les vibrations lumineuses au point M, issues des deux trous source S1 et S2, sont décrites respectivement par les expressions s1(M, t) = S0 cos [wt-2p S1M / l0] et
s2(M, t) = S0 cos [wt-2p S2M / l0]. S0 est une constante. E0  est l'éclairement qui serait obtenu en masquant l'un des deux trous. Décrire la figure d'interférences.
Au point M de l'écran :
vibration résultante : s(M,t) =s1(M, t) +s2(M, t) =S0 ( cos [wt-2p S1M / l0]+cos [wt-2p S2M / l0] ).
éclairement : E(M)= < s(M, t) 2>
E(M)=  S20 ( < cos2 [wt-2p S1M / l0] > + < cos2 [wt-2p S2M / l0] )>+ < cos [wt-2p S1M / l0].cos [wt-2p S2M / l0] > ).

< cos2 [wt-2p S1M / l0] > = < cos2 [wt-2p S2M / l0] )>0,5.

< cos [wt-2p S1M / l0].cos [wt-2p S2M / l0] > = < cos [2wt-2p S1M / l0+2p S2M / l0] >+ < cos[ 2p S2M / l0-S1M / l0] >.
< cos [2wt-2p S1M / l0+2p S2M / l0] > = 0

E(M)=  S20 ( 1+  cos[ 2p  / l0 (S2M-S1M)] ).
S1M2 =(y-½a)2 +x2 +D2.
S2M2 =(y+½a)2 +x2 +D2.
S2M2 -
S1M2 =2ay.
S2M2 -
S1M2 =(S2M+S1M)
(S2M-S1M) avec S2M+S1M ~2D.
S2M-S1M~ay / D.
E(M)= 
S20
[ 1 + cos ( 2 p a y) / ( l0D))] avec S20=2 E0.

Q7. Comparer l'éclairement calculé à la question précédente avec la figure ci-dessous obtenue expérimentalement sur l'écran (E'). Quel autre pphénomène optique doit-on prendre en compte pour comprendre cette figure expérimentale ?


Dans la formule ci-dessus, la variable x n'apparaît pas. L'éclairement dépend par contre de la variable y : les franges d'interférences seront donc  h
orizontales. Les cercles sont dus au phénomène de diffraction par les deux trous S1 et S2.
Q8. Montrer que cette figure permet d'estimer les valeurs de la longueur d'onde l0 et de b.
Les  franges lumineuses correpondent aux interférences constructives pour lesquelles
cos ( 2 p a y) / ( l0D)) = 1.
2 p a y / ( l0D) = 2 k p avec k entier relatif.
a y / ( l0D)= k
Interfrange, distance entre deux franges lumineuses consécutives : i = l0D / a.
Sur la figure, 1,0 cm correspond à 10 interfranges : i =1,0 10-3 m.
l0=a i / D=5,0 10-4 x 1,0 10-3 / 1 =5,0 10-7 m.
Largeur de la tache de diffraction : L =2 l0 D / b  = 2,0 cm.
b =
2 l0 D / L =2 x 5,0 10-7 x 1 /(2,0 10-2) =5,0 10-5 m.
 

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b) Applications.
La physique quantique associe aux particules une longueur d'onde et leur confère des propriétés ondulatoires. Afin de mettre en évidence ce caractère ondulatoire, C. Jönsson réalisa en 1961 des expériences consistant à envoyer des électrons à travers une ou plusieurs fentes. On obtient les figures suivantes sur un écran fluorescent.

Soit un électron auquel on associe une longueur d'onde le arrivant en incidence normale sur une fente fine. On suppose qu'après avoir franchi cette fente fine, son vecteur quantité de mouvement s'inscrit dans un cône de demi-angle au sommet q.

Il existe donc pour cet électron, une indétermination sur la composante Dpy de sa quantité de mouvement. De même, l'électron qui passe par la fente fine, de largeur d, possède une certaine indétermination spatiale Dy dont la valeur peut être estimée par d.
Q9. On donne la relation d'indétermination d'Heisenberg qui lie Dy et Dpy telle que
Dy . Dpy > h / (4p). Montrer, en utilisant la relation de de Broglie, que la physique quantique prévoit bien un écart angulaire minimum qm de diffraction en fonction de d et le.
Relation de de Broglie : p = h / le ;
Dpy = p sin q = h sin q / le .
La relation d'indétermination d'Heisenberg conduit à d.
h sin q / le > h / (4p).
L'angle de diffraction maximale est tel que : sin qm > le / (4pd).

La résolution de la figure d'interférence ( précision maximale avec laquelle on peut faire des pointés), augmente lorsque le nombre N de fentes augmente. Cette propriété est mise à profit dans les microscopes électroniques en transmission.
Les électrons, initialement immobiles, sont accélérés grâce à une tension U >0 entre une cathode et une anode. Ces électrons sont supposés non relativistes. Ils sont associés à une longueur d'onde d'environ un ordre de grandeur plus petit que la distance interatomique d0. Après accélération et focalisation, ces électrons atteignent un nombre important d'atomes d'un très mince échantillon. L'analyse de la figure de diffraction peut permettre ensuite d'étudier la structure cristalline de l'échantillon.
On donne h ~ 7 10-34 J s ; masse de l'électron me ~9 10-31 kg et la charge élémentaire e ~ 2 10-19 C.
Q10. Donner une estimation de la valeur de la tension U nécessaire pour analyser un solide cristallin par l'étude de la figure de diffraction électronique. Commenter l'hypothèse non relativiste des électrons.
Distance entre deux atomes ( ou deux ions) dans un solide cristallin : d~1nm soit 10-9 m.
En conséquence le ~10-10 m.
Au cours de son accélération, variation de l'énergie cinétique de l'électron : e U =Ec finale - Ec début = Ec finale = p2 /(2me).
e U =(h / le)2 / (2me).
U =
(h / le)2 / (2 e me) = 72 10-68 / (2 x10-20 x2 10-19 x 9 10-31) ~1 102 V.
Energie cinétique finale de l'électron : e U = 2 10-19 x 102 = 2 10-17 J.
Energie de masse de l'électron : m c2 = 9 10-31 x 32 1016 =8 10-14 J, valeur très supérieure à l'énergie cinétique finale.
L'électron n'est pas relativiste.

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