Mathématiques. Thalès, Pythagore.

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Exercice 1.
Un décorateur a dessiné une vue de côté d’un meuble de rangement composé d’une structure métallique et
de plateaux en bois d’épaisseur 2 cm. Les étages de la structure métallique de ce meuble de rangement sont tous identiques et la figure 2 représente
l’un d’entre eux.

On donne :
• OC = 48 cm; OD = 64 cm; OB = 27 cm; OA = 36 cm et CD = 80 cm;
• les droites (AC) et (CD) sont perpendiculaires.
1. Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
OA / OD = 36 / 64 =9 /16 ; OB / OC = 27 / 48 = 9 / 16.
OA / OD = OB / OC ; les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
2. Montrer par le calcul que AB = 45 cm.
AB / CD= 9 / 16 ; AB = 9 x80 / 16 = 45 cm.
3. Calculer la hauteur totale du meuble de rangement.
4 étages + 5 épaisseur de bois = 4 AC +5 x 2 = 4 AC +10 cm.
Dans le triangle rectangle ABC : AC2 = BC2 -AB2 =(27+48)2 -452 =3600 ; AC = 60 cm.
Hauteur du meuble : 4 x60 +10 = 250 cm.

Exercice 2.
Michel participe à un rallye VIT sur un parcours balisé. Le trajet est représenté en traits pleins. Le départ du rallye est en A et l’arrivée est en G.

1.  Montrer que la longueur BD est égale à 2,5 km.
Relation de Pythagore dans le triangle rectangle BCD : BD2 = 1,52 +22 =6,25 : BD =2,5 km.
2. Justifier que les droites (BC) et (EF) sont parallèles.
Les droites (BC) et (EF) sont perpendiculaires à la droite (CE). L
es droites (BC) et (EF) sont parallèles.
3. Calculer la longueur DF.
DF / BD =DE / CD ; DF / 2,5 =5 / 2 = 2,5 ; DF = 2,5 x2,5 =6,25 km.
4. Calculer la longueur totale du parcours.
AB +BD +DF +FG =7 +2,5 +6,25 +3,5 =19,25 km.
5. Michel roule à une vitesse moyenne de 16 km/h pour aller du point A au point B.
Combien de temps mettra-t-il pour aller du point A au point B?
Donner votre réponse en minutes et secondes.
7 /16 = 0,4375 heure ou 0,4375 x60 = 26,25 minutes ou 26 min 15 s.

Exercice 3.
Un silo à grains permet de stocker des céréales. Un ascenseur permet d’acheminer le blé dans le silo.
L’ascenseur est soutenu par un pilier.
On modélise l’installation par la figure ci-dessous qui n’est pas réalisée à l’échelle :
• Les points C, E et M sont alignés.
• Les points C, F, H et P sont alignés.
• Les droites (EF) et (MH) sont perpendiculaires à la droite (CH).
• CH = 8,50 met CF = 2,50 m.
• Hauteur du cylindre : HM= 20,40 m.
• Diamètre du cylindre : HP = 4,20 m.

1. Quelle est la longueur CM de l’ascenseur à blé?
Pythagore dans le triangle rectangle CHM :
CM2 =CH2 +HM2 =8,52+20,42=488,41. CM = 22,1 m.
2. Quelle est la hauteur EF du pilier ?
Thalès dans les triangles semblables CEF et CMH :
CH / CF = MH / EF.
8,5 / 2,5 = 20,4 / EF.
EF = 20,4 x2,5 / 8,5 = 6 m.
3. Quelle est la mesure de l’angleƒ HCM entre le sol et l’ascenseur à blé? On donnera une valeur approchée au degré près.
tan HCM = MH / CH = 20,4 / 8,5 =2,4. L'angle HCM mesure 67°.
4. Un mètre-cube de blé pèse environ 800 kg.
Quelle masse maximale de blé peut-on stocker dans ce silo ? On donnera la réponse à une tonne près.
Volume du cylindre = aire de base fois hauteur =pR2 H =3,14 x2,12 x20,4=282,63 m3.
Masse de blé : 282,63 x0,800 ~ 226 tonnes

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Exercice 4.
.Le triangle ADE a pour dimensions : AD = 7 cm ; AE = 4,2 cm ; DE = 5,6 cm.
AF = 2,5 cm ; AB = AC = 9 cm.
Les droites (FG) et (DE) sont parallèles.

1. Réaliser la figure en vrai grandeur.
Tracer (AB) ; placer les points B et D sachant que AD = 7 cm et AB = 9 cm.
Pointe du compas en D, tracer un arc de cercle de rayon 5,6 cm.

Pointe du compas en A, tracer un arc de cercle de rayon 4,2 cm.
L'intersection des deux arcs définit le point E.
Tracer AE puis prolonger jusqu'au point C.
Placer le point G.
Tracer DE puis la parrallèle à DE passant par G.
2. Prouver que le triangle ADE est rectangle en E
AD2 = 49 ; AE2 + DE2 = 4,22 +5,62 =49.
AD2 =AE2 + DE2 ; d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ADE est rectangle en E.
3. Calculer FG.
(FG) et (DE) sont parallèles, d'autre part (AC) et AB) sont sécantes.
A, G, E sont alignés, ainsi que AFD : le théorème de Thalès conduit à FG = 2 cm. ( voir calcul ci-dessus).

Exercice 5.
On considère la figure ci-dessous qui n'est pas représentée en waie grandeur.
Les points A, B et E sont alignés ainsi que les points C, B et D.

Calculer AB dans les trois cas A, B, C.

Exercice 6.
Dans la figure ci-dessous :
• ABE est un triangle ;  AB = 6 cm, AE = 8 cm et BE = 10 cm ;
• I et J sont les milieux respectifs des côtés [AB] et [AE] ;
• le cercle (C) passe par les points I, J et A.
1. Peut-on affirmer que les droites (IJ) et (BE) sont parallèles ?
2. Montrer que le triangle ABE est rectangle.
3. Quelle est la mesure de l’angle AEB ? On donnera une valeur approchée au degré près.

4. a. Justifier que le centre du cercle (C) est le milieu du segment [IJ].
Le triangle AIJ est rectangle en A et inscrit dans un cercle dont le diamètre est son hypothénuse IJ.
Le centre du cercle (C) est le milieu du segment [IJ].
b. Quelle est la mesure du rayon du cercle (C) ?
IJ = BE / 2 = 5 cm; rayon du cercle R = 2,5 cm.

Exercice 7.
Sur la figure  le point J appartient au segment [IM] et le point K appartient au segment [IL].
Sur la figure, les longueur sont données en mètres.

1. Montrer que IKJ est un triangle rectangle.
IJ2 = 16 ; JK2 + KI2 = 2,42 +3,22 = 16.
IJ2 =JK2 + KI2  : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IJK est rectangle en K.
2. Montrer que LM est égal à 3,75 m.
(ML) et (JK) sont parallèles, étant toutes deux perpendiculaires à (IL).
Théorème de Thalès ( IM et IL sont deux sécantes).

3. Calculer la longueur KM au centimètre près.
KM2 = ML2 + KL2 = 3,752 +1,82 = 17,30 ; KM = 4,16 m



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