Mathématiques. PGCD.

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Exercice 1.
1. Décomposer les nombres 162 et 108 en produits de facteurs premiers.
162 = 2 x 34 ; 108 = 22 x33.
2. Déterminer deux diviseurs communs aux nombres 162 et 108 plus grands que 10.
18 ; 27 ; 54.
3. Un snack vend des barquettes composées de nems et de samossas.
Le cuisinier a préparé 162 nems et 108 samossas.
Dans chaque barquette :
— le nombre de nems doit être le même.
— le nombre de samossas doit être le même,
Tous les nems et tous les samossas doivent être utilisés.
a. Le cuisiner peut-il réaliser 36 barquettes ?
Non, 36 n'est pas un diviseur commun à 162 et 108.
b. Quel nombre maximal de barquettes pourra-t-il réaliser ?
Le plus grand commun diviseur à 162 et 108 est 2 x33 = 54.
Il peut réaliser 54 barquettes contenant chacune 3 nems et 2 samosas.


Exercice 2.
AUREL : Belle pêche! Combien de poissons et de coquillages vas-tu pouvoir vendre au marché?
ANTOINE : En tout, je vais pouvoir vendre au marché 30 poissons et 500 coquillages.
Antoine est un pêcheur professionnel. Il veut vendre des paniers contenant des coquillages et des poissons. Il souhaite concevoir le plus grand nombre possible de paniers identiques. Enfin, il voudrait qu’il ne lui reste aucun coquillage et aucun poisson dans son congélateur.
1. Combien de paniers au maximum Antoine pourra t-il concevoir ? Justifier.
Rechercher le PGCD de 30 et 500.
500 = 30 x 16 +20.
30 = 3 x 10.
PGCD(500 ; 30) = 10.
Il peut réaliser au maximum 10 paniers.
2. Quelle sera la composition de chaque panier ? Justifier.
500 / 10 = 50 coquillages et 30 / 10 = 3 poissons.


Exercice 3.
Un confiseur lance la fabrication de bonbons au chocolat et de bonbons au caramel pour remplir 50 boîtes. Chaque boîte contient 10 bonbons au chocolat et 8 bonbons au caramel.
1. Combien doit-il fabriquer de bonbons de chaque sorte ?
50 x10 = 500 bonbons au chocolat et 50 x 8 = 400 bonbons au caramel.
2. Jules prend au hasard un bonbon dans une boite. Quelle est la probabilité qu’il obtienne un bonbon au chocolat ?
Nombre de bonbons au chocolat / Nombe total de bonbon =10 / 18 = 0,555 ~0,56.
3. Jim ouvre une autre boîte et mange un bonbon. Gourmand, il en prend sans regarder un deuxième. Est-il plus probable qu’il prenne alors un bonbon au chocolat ou un bonbon au caramel ?
Oui, car le nombre de bonbons au chocolat est toujours supérieur au nombre de bonbons au caramel quel que soit le premier bonbon choisi.
4. Lors de la fabrication, certaines étapes se passent mal et, au final, le confiseur a 473 bonbons au chocolat et 387 bonbons au caramel.
a. Peut-il encore constituer des boîtes contenant 10 bonbons au chocolat et 8 bonbons au caramel en utilisant tous les bonbons ? Justifier votre réponse.
Il peut faire 47 boîtes de bonbons contenant 10 bonbons au chocolat et 8 bonbons au caramel.
Il lui restera 3 bonbons au chocolat et  387 - 8 x47 =11 bonbons au caramel.
b.  e confiseur décide de changer la composition de ses boîtes. Son objectif
est de faire le plus de boîtes identiques possibles en utilisant tous ses bonbons. Combien peut-il faire de boîtes ? Quelle est la composition de chaque boîte ?

473 = 11 x 43 ; 387 = 9 x 43 ; PGCD (473 ; 387) = 43.
Il peut constituer 43 boîtes contenant 11 bonbons au chocolat et 9 bonbons au caramel.

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Exercice 4.
Pour son mariage, un couple souhaite décorer la salle avec des chandeliers ornés de bougies dorées et de bougies argentées. Les futurs mariés ont commandé sur un site internet une fin de stock et reçoivent donc 180 bougies dorées et 108 bougies argentées.
Ils veulent préparer le plus de chandeliers identiques possible sans gaspillage. C’est à dire que :
• Le nombre de bougies dorées est le même dans tous les chandeliers.
• Le nombre de bougies argentées est aussi le même dans tous les chandeliers.
• Toutes les bougies doivent être utilisées.
1. Combien de chandeliers doivent-ils acheter ? Justifier la réponse.
180 = 22 x 32 x 5 ; 108 = 22 x33 ;
le PGCD de 180 et 108 est égal à 22 x 32 = 36.
2. Combien de bougies de chaque couleur y aura-t-il sur chaque chandelier ?
Chaque chandelier compte 5 bougies dorées et 3 bougies argentées.

Exercice 5.
Carole souhaite réaliser une mosaïque sur un mur de sa maison. La surface à paver est un rectangle de dimensions 108 cm et 225 cm et doit être entièrement recouverte par des carreaux de faïence carrés de même dimension sans découpe.
1. Carole peut-elle utiliser des carreaux de 3 cm de côté ? De 6 cm de côté ?
3 est un diviseur de 108 et de 225 ; 6 n'est pas un diviseur de 225. Elle peut utiliser des carreaux carré de 3 cm de côté. Les catteaux de 6 cm de ccôté nécessiteront une découpe.
2. Quelle est la dimension maximale des carreaux que Carole peut poser ? Combien de carreaux utilisera-t-elle ?
108 = 22 x 33 ; 225 = 32 x52.
Le PGCD de 108 et 225  est égal à 9. Les plus grands carreaux carrés utilisables auront 9 cm de côté. Il lui en faudra :
108 / 9 = 12 en largeur et 225 / 9 = 25 en hauteur.
12 x 25 = 300.

Exercice 6.
Un chocolatier vient de fabriquer 2 622 oeufs de Pâques et 2 530 poissons en chocolat.
Il souhaite vendre des assortiments d’oeufs et de poissons de façon que :
• tous les paquets aient la même composition ;
• après mise en paquet, il reste ni oeufs, ni poissons.
1. Le chocolatier peut-il faire 19 paquets ? Justifier.
2622 / 19 = 138 ; 2530 / 19 = 133 +3.
Non, il reste 3 poissons.
2. Quel est le plus grand nombre de paquets qu’il peut réaliser ?
Dans ce cas, quelle sera la composition de chaque paquet ?
2622 = 2 x 3 x 19 x 23 ; 2530 = 2 x 5 x11 x23.
Le PGCD de 2622 et de 2530 est égal à 2x 23 = 46.
Il peut réaliser 46 paquets contenant chacun 2622 / 46 = 57 oeufs et 2530 / 46 = 55 poissons.


Exercice 7.
À la fin d’une fête de village, tous les enfants présents se partagent équitablement les 397 ballons de baudruche qui ont servi à la décoration. Il reste alors 37 ballons.
L’année suivante, les mêmes enfants se partagent les 598 ballons utilisés cette année là. Il en reste alors 13. Combien d’enfants, au maximum, étaient présents ?
Soit N le nombre d'enfants : 397-37 = 360 est un multiple entier de N.
598-13 = 585 est un multiple entier de N.
360 = 23x 32 x5.
585 = 32 x 5 x 13.
PGCD de 360 et 585 : 32 x 5 =45.



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