Mathématiques. Fonctions linéaire et affine.

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Exercice 1.
Les représentations graphiques C1 et C2 de deux fonctions sont données dans le repère ci-dessous.
Une de ces deux fonctions est la fonction f définie par f (x) = −2x+8.

1. Laquelle de ces deux représentations est celle de la fonction f ?
Le graphe de la fonction affine f est une droite passant par les points de coordonnées (0 ; 8) et 4 ; 0) : donc C2.
2. Que vaut f (3) ?
f(3) = -2 x3 +8 = 2.
3. Calculer le nombre qui a pour image 6 par la fonction f .
6 = -2x +8 ; 2x = 8-6 = 2 ; x = 1.
4. La feuille de calcul ci -dessous permet de calculer des images par la fonction f .

A
B
C
D
E
F

1
x
-2
-1
0
1
2
3
2
f(x)







Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B2 avant de l’étirer vers la droite jusqu’à la cellule G2 ?
= -2*B1+8.


Exercice 2.
1. Développer et réduire l'expression A.
A = 2x(x-1)-4(x-1) =2x2-2x-4x+4 = 2x2-6x+4.
2. Montrer que -5 est solution de l'équation (2x+1) (x-2) = 63.
[2 (-5) +1] [-5-2] = -9 x (-7) = 63.
3. On considère la fonction f définie par f(x) = -3x+1,5.
Parmi les graphes ci-dessous, quel est celui qui représente cette fonction ? Justifier.

Le coefficient directeur de la droite est négatif.
f(0) = 1,5. La droite passe par le point de coordonnées ( 0 ; 1,5). Donc B.


Exercice 3.
On étudie les performances de deux nageurs (nageur 1 et nageur 2).
La distance parcourue par le nageur 1 en fonction du temps est donnée par le graphique ci-dessous.


1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. Aucune justification n’est demandée.
a. Quelle est la distance totale parcourue lors de cette course par le nageur 1?
2000 m.
b. En combien de temps le nageur 1 a-t-il parcouru les 200 premiers mètres ?
 5 minutes.
2. Y a-t-il proportionnalité entre la distance parcourue et le temps sur l’ensemble de la course? Justifier.
Non, la courbe n'est pas une droite passant par l'origine.
3. Montrer que la vitesse moyenne du nageur 1 sur l’ensemble de la course est d’environ 44 m / min.
2000 m parcourus en 45 minutes : 2000 / 45 ~ 44m / min.
4. On suppose maintenant que le nageur 2 progresse à vitesse constante. La fonction f définie par f (x) = 50x représente la distance qu’il parcourt en fonction du temps x.
a. Calculer l’image de 10 par f .
f(10) = 50 *10 = 500 m.
b. Calculer f (30).
5. Les nageurs 1 et 2 sont partis en même temps,
a. Lequel est en tête au bout de 10 min? Justifier.
Le nageur 1 a parcouru 400 m en 10 minutes.
Le nageur 2  a parcouru 50 *10 = 500 m en 10 minutes. Celui-ci est en tête.
b. Lequel est en tête au bout de 30 min? Justifier.
Le nageur 1 a parcouru 1600 m en 30 minutes.
Le nageur 2  a parcouru 50 *30 = 1500 m en 30 minutes.
Le nageur 1 est en tête.

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Exercice 4.
Trois jeunes amis décident de travailler le soir après les cours pour gagner un peu d’argent. Comme ils ont le permis de conduire, ils s’orientent vers la livraison de
pizzas. Ils ont réussi à trouver un emploi dans trois pizzerias différentes.
• David va recevoir un salaire fixe de 70 000 F par mois.
• Guillaume aura un salaire mensuel composé d’une partie fixe de 50 000 F à laquelle s’ajoutent 100 F par livraison effectuée.
• Angelo sera payé chaque mois 200 F par livraison.
1. Si durant un mois les pizzerias ne reçoivent que très peu de commandes, qui devrait gagner le plus d’argent ?
David, car il reçoit un salaire fixe, suprérieur à la part fixe des deux autres..
2. a. Compléter le tableau.
Nombre de livraisons pr mois
50
200
300
600
Salaire de David en F
70 000
70 000
70 000
70 000
Salaire de Guillaume en F
55 000
50 000 +200 x100
=70 000
50 000 +300 x100
=80 000
50 000 +600 x100
=110 000
Salaire d'Angelo en F
50 x200
=10 000
200 x 200
=40 000
300 x 200
=60 000
600 x200
=120 000
b. Durant un mois, combien de livraisons Guillaume doit-il effectuer pour avoir le même salaire que celui de David ? 200.
3. Dans cette question, x désigne le nombre de livraisons effectuées durant un mois. f , g et h sont trois fonctions définies par :
 f (x) = 70000 ;  g (x) = 200x ;  h(x) = 100x +50000.
a. Associer chacune de ces fonctions à l’un des trois salaires.
f(x) : David ; g(x) : Angelo ; h(x) :: Guillaume.
b. Dans le repère suivant, écrire le nom de la fonction correspondant à chaque droite.


Exercice 5.
Il existe différentes unités demesure de la température. En France, on utilise le degré Celsius (°C), aux États-Unis on utilise le degré Fahrenheit (°F). Voici une représentation de cette correspondance :


1. En vous appuyant sur la représentation précédente, déterminer s’il y a proportionnalité entre la température en degré Celsius et la température en degré Fahrenheit. Justifier votre réponse.
Il n'y a pas proportionalité entre les degrés Celcius et les degrés Farhenheit, car le graphe est une droite qui ne passe pas par l'origine.
2. Soit f la fonction qui à une température x en degré Celsius associe la température f (x) en degré Fahrenheit correspondante. On propose trois expressions de f (x) :
Proposition 1 : f (x) = x +32. Proposition 2:  f (x) = 1,8x +32. Proposition 3 : f (x) = 2x +30.
« Les propositions 1 et 3 ne peuvent pas être correctes. C’est donc la proposition 2 qui convient. ». Justifier cette affirmation.
Pente de la droite : 32 / 17,5 ~1,8 et ordonnée à l'origine : 32.
3. On considère la fonction f définie par f (x) = 1,8x +32. Calculer f (10) et f (−40).
f(10) =1,8 x10 +32 = 50 ; f(-40)= 1,8 x(-40) +32 = -40.
4. Existe-t-il une valeur pour laquelle la température exprimée en degré Celsius est égale à la température exprimée en degré Fahrenheit ? Justifier votre réponse.
Les températures en degré Celsius et en degré Farhenheit doivent être égales.
x = 1,8 x +32 ; -0,8 x = 32 ; x = -40.
Exercice 6.
Soient les fonctions f , g et h définies par :
f (x) = 6x ;  g (x)= 3x2 −9x −7 et h(x) = 5x −7.
À l’aide d’un tableur, Pauline a construit un tableau de valeurs de ces fonctions.
Elle a étiré vers la droite les formules qu’elle avait saisies dans les cellules B2, B3 et B4.
B3
=3*B1*B1-9*B1-7


A
B
C
D
E
F
G
H
1
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
2
f(x)=6x
-18
-12
-6
0
6
12
18
3
g(x) =3x2-9x-7
47
23
5
-7
-13

-13
-7
4
h(x)=5x-7
-22
-17
-12
-7
-2
3
8
1. Utiliser le tableur pour déterminer la valeur de h(−2).
h(-2) = -17.
2. Écrire les calculs montrant que : g (−3) = 47.
3*(-3)*(-3) -9*(-3)-7=3*9+27-7=47
3. Faire une phrase avec lemot « antécédent » ou le mot « image » pour traduire l’égalité g (−3) = 47.
L'image de (-3) par la fonction g est 47 ; l'antécédent de 47 par la fonction g est (-3).
4. Quelle formule Pauline a-t-elle saisie dans la cellule B4 ?
= 5 *B1 -7
5. a. Déduire du tableau ci-dessus une solution de l’équation : 3x2−9x −7 = 5x −7.
x=0.
b. Cette équation a-t-elle une autre solution que celle trouvée grâce au tableur ? Justifier la réponse.
3x2−9x −7 -( 5x −7)=0 ; 3x2−9x-5x=0 ; x(3x-14)=0 ; solution x = 0 et x = 14 / 3

Exercice 7.
La copie d’écran ci-dessous montre le travail effectué par Léa pour étudier trois fonctions f , g et h telles que :
• f (x) = x2+3x −7
• g (x) = 4x +5
• h est une fonction affine dont Léa a oublié d’écrire l’expression dans la cellule A4.
S=
=B1*B1+3B1-7

A
B
C
D
E
F
1
x
-2
0
2
4
6
2
f(x)=x2+3x-7
-9
-7
3
21
47
3
g(x)=4x+5
-3
5
13
21
29
4
h(x)
9
5
1
-3
-7
1. Donner un nombre qui a pour image −7 par la fonction f .
L'image de 0 par la fonction f est égale à -7..
2. Vérifier à l’aide d’un calcul détaillé que f (6) = 47.
62+3 x6-7 = 36+18-7=47
3. Expliquer pourquoi le tableau permet de donner une solution de l’équation :
x2+3x −7 = 4x +5. Quelle est cette solution ?
Dans la partie grisée du tableau rechercher la valeur identique figurant dans une colonne.
L'antécédent  de 21 est 4, solution de l'équation.
4. À l’aide du tableau, retrouver l’expression algébrique h(x) de la fonction affine h.
h(x) = ax +b avec a et b des constantes.
h(0) = b = 5  ; h(2) =2 a+5=1 d'où a = -2 ; h(x) = -2x+5.



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